Куни впервые вышел на сцену в 1946 году и сыграл во многих, фарсах Уайтхолла под управлением Брайана Рикса в 50-х и 60-х. Именно в то время он написал (в соавторстве) свою первую пьесу One For The Pot.
В соавторстве с Тони Хилтоном он написал сценарий для Британской телекомедии 1961 года What a carve up! с Сидом Джеймсом и Кеннетом Коннором в ролях.
Куни вместе с сыном Майклом написал водевиль Tom, Dick and Harry. Его комедии совмещают в себе традиционную Британскую похабность со сложным повествованием, где герои делают произвольные допущения (сомнительные выводы), выдают себя за тех, кем не являются, и часто повествуют <комедии> о противоположных стремлениях людей, приводящих к веселым последствиям.
В 1983 году Куни создал компанию Театр Комедии и стал её художественным руководителем. За время его руководства в театре было поставлено более двадцати пьес таких как Пигмалион с Питером O'Тулом и John Thaw в главных ролях, «Трофеи» и «Беги за своей женой».
Куни также появился на телевидении в нескольких фильмах, включая экранизацию «Не сейчас, дорогая», написанную им в соавторстве с Джоном Кэпмэном.
В 2005 году Куни был награжден Орденом Британской империи в качестве признания его заслуг в области драмы.
Сын Куни Майкл сценарист и написал сценарий к фильму «Идентификация»' с Джоном Кьюсаком в главной роли.