После получения среднего образования изучал историю в Саарском университете. Климмт - страстный библиофил, ведёт свою собственную колонку на немецком сайте «AbeBooks». Женат, имеет трёх детей.
С 1964 года Климмт член СДПГ. В 1998, он избирается премьер-министром земли Саар, сменив на этом посту Оскара Лафонтена, ставшего министром финансов после победы СДПГ на федеральных выборах.
В 1999-м, Климмт проиграл земельные парламентские выборы Петеру Мюллеру. Однако занимает пост министра транспорта, строительства и жилищного хозяйства. Пробыв в этой должности всего год, вынужден был уйти в отставку в связи со скандальным расследованием, проявившим незаконное финансирование футбольной команды «Саарбрюкен» в бытность президента этого клуба, в начале девяностых.