Закончил Бакинский институт физической культуры.
Родился и вырос недалеко от Баку. Во время службы играл в армейской команде на первенстве республики. Из-за этого попал в большой футбол уже в зрелом возрасте. Сначала играл в бакинском «Гянджлике», выступавшем во второй лиге, а через полгода — в «Нефтчи».
1-й матч в высшей лиге провёл в Киеве против местного «Динамо», противостоя на бровке Василию Рацу. Матч вничью закончился, а самого Абушева похвалили за успешный дебют.
Весной 1997 года Расим, на тот момент игрок агдамского «Карабаха», вместе со сборной Азербайджана тренировался на Кипре. Там же находились динамовцы из Ставрополя, которые и вышли на азербайджанскую федерацию футбола и решили вопрос о переходе в стан «бело-голубых».
После «Динамо» играл в «Жемчужине» из Будённовска и «Кавказтрансгазе».
В августе 2004 принял приглашение Назима Сулейманова перейти в Хазар-Ленкорань. Однако отыграв только одну игру против «Бакы», где команда уступила со счетом 0:2, решил завершить выступления в большом футболе.
В настоящее время проживает в России.
С момента образования сборной Азербайджана вызывался и играл постоянно. С 1993 по 1999 провёл за сборную 40 матчей, в которых отметился 3 мячами.