Раиса Стручкова родилась 5 октября 1925 года в Москве в рабочей семье.
В 1935 году она поступила в МХУ, в класс выдающегося балетного педагога Елизаветы Павловны Гердт. В годы Великой Отечественной войны училище было эвакуировано в Васильсурск, но и там продолжались занятия .
В 1944 году Раиса Стручкова закончила училище и была принята в труппу Большого театра. Первую большую роль Лизы («Тщетная предосторожность») исполнила на сцене в 1945 году.
С 1945 по 1978 год была солисткой Большого театра. На сцене Большого Стручкова являлась основной дублершей Г. С. Улановой, но молодая балерина не желала повторять выдающуюся предшественницу — она стремилась утверждать на сцене свой исполнительский стиль, свое видение образа, свое понимание характера той или иной героини. В 1947 году она исполнила роль Золушки в одноимённом балете, в 1960 году, был снят фильм «Хрустальный башмачок», который в том же году получил главный приз на фестивале фильмов-балетов в Канаде.
Закончив сценическую деятельность, с 1978 года была балетмейстером — репетитором Большого театра, профессором ГИТИСа, с 1981 по 1995 год главным редактором журнала «Советский балет» (с 1992 года «Балет»). C 1995 года Стручкова была художественным руководителем кафедры хореографии РАТИ.
Скончалась в Москве 2 мая 2005 года. Похоронена на Введенском кладбище рядом с мужем — А. А. Лапаури, погибшим в автомобильной катастрофе.
Нина Ананиашвили, народная артистка России и Грузии: «Я потеряла родного человека, я, можно сказать, осиротела, потому что я ее считала своей русской мамой. Вы не представляете, как она за каждого человека переживала, вне зависимости от того, кто этот человек был, и сколько с ней работал».
В 2000 году ей присуждена Большая золотая медаль Международной педагогической академии за достижения в области образования, культуры и науки.
Именем Раисы Стручковой назван астероид 9176.