Мартин Васвес принадлежал к поколению игроков мадридского «Реала», вышедших из «Кастильи», то поколение прозвали Вилла Грифа (Quinta del Buitre).
Играя за «Кастилью», вторую команду «Реала», Васкес тал лучшим игроком Юношеского чемпионата мира 1981 года. В первой же команде «Реала» Васкес дебютировал в 1983 году, в матче с «Мурсией». С «Реалом» Васкес выиграл 6 чемпионатов Испании и 2 кубка УЕФА. По общему мнению тогдашней прессы, Васкес был одним из талантливейших и технически оснащённых футболистов Испании, но у него была проблема, Васкес не был бойцом, он не умел спасать тяжёлые матчи и обладал очень сдержанным и скрытным характером, всё это приводило к негодованию требовательную мадридскую публику на первых порах его карьеры в Королевском клубе. В сезонах 1988—1989 и 1989—1990 Васкес раскрылся в полной мере, он стал лучшим игроком 1990-го, а «Реал» с ним выиграл два чемпионата Испании, Кубок Испании и Суперкубок Испании. В те годы он был истинным сердцем «Реала», но и одним из самых желанных футболистов на трансферном рынке. Этим не мог не воспользоваться президента «Реала», Рамон Мендоса, который продал игрока в Италию, в «Торино».
В «Торино» всё прошло не очень гладко, несмотря на то, что он был одним из самых высокоплачеваемых игроков Кальчо, и проводя в целом неплохие игры, Васкес, всё же не смог приблизиться к своему уровню игры, который он демонстрировал в мадридском «Реале». Затем он скитался по командам, вернулся в «Реал», но и дома не показывал своего уровня. Заокнчил карьеру Васкес в 1998 году.
После окончания карьеры игрока, Васкес стал сотрудником «Реала», работая в техническом штате клуба, а также стал работать комментатором и футбольным экспертом в теле- и радиопередачах.