Шербеджия родился в деревне Бунич в хорватской области Лика в сербской (или сербско-македонской) семье. В 1969 году он окончил Академию драматического искусства при Загребском университете. Он начал свой творческий путь в качестве актёра театра, работая в Хорватском национальном театре и городском драматическом театре Гавелла в Загребе. Известность в Югославии получил благодаря роли Гамлета в постановке 1974 года. Продолжая играть в театре («Царь Эдип», «Пер Гюнт», «Дон Жуан», «Ричард III»), он стал появляться в кино (ранняя роль офицера четников в «Ужицкой республике») и на телевидении (телепостановка о Николе Тесле). На Западе стал известен после роли офицера, выслушивающего показания женщины, спасшей сотни детей от Холокоста, в фильме «Война Ханны».
В результате войн, сопровождавших распад Югославии, семья актёра была вынуждена перебраться из Хорватии в Белград, а сам он пытался сниматься в разных бывших югославских республиках, включая Македонию («Перед дождём» 1994 года), прожил некоторое время в Словении, а затем появился в Соединённых Штатах. Совместно с Бориславом Вуйчичем Шербеджия основал театр «Улисс» на островах Бриуны, где выступает режиссёром и актёром в ряде пьес. Он поддерживает Социалистическую рабочую партию Хорватии.