Окончил юридический факультет Будапештского университета. Участвовал в восстании 1956 года. В конце 80-х начал деятельность в оппозиционном ВДФ. Министр внутренних дел Венгрии в в правительстве Йожефа Антала (1990-93). После смерти Антала 12 декабря 1993 года возглавил правительство страны. В следующем году под его руководством правящая коалиция проиграла парламентские выборы, и 15 июля 1994 года правительство Бороша было вынуждено подать в отставку, уступив место социалистам. Позже Борош являлся политическим советником премьер-министра Венгрии Виктора Орбана. В 2010 году вышел из ВДФ из-за разногласий по вопросам партийной политики. В настоящее время Борош по поручению Орбана участвует в разработке новой конституции.