Родился в 1905 году в Липецке. В 1926—1929 служил в Красной Армии. До войны работал в липецком водоканалтресте на руководящих должностях.
Участник Великой Отечественной войны с 22 июня 1941 года. Служил в пехоте. Был рядовым, командовал отделением, а затем взводом. Получил два тяжёлых ранения. Награждён орденами Красного Знамени и Славы.
12 марта 1945 года командир взвода автоматчиков гвардии старшина Папин в сражении на территории Венгрии в районе деревни Ференц близ города Секешфехервара бросился с гранатами под вражеский танк.
За героизм и отвагу П. А. Папину 29 июня 1945 года было посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.