Родился 5 ноября 1953 года в Казани. В 1976 году окончил историко-филологический факультет КГУ имени В. И. Ульянова. В 1981 году Морозов с трудом защитил кандидатскую диссертацию на соискание учёной степени кандидата философских наук на тему: «Анализ западных интерпретаций взаимоотношений между странами мировой системы социализма». Преподавал в университете на кафедре научного коммунизма. В 1983—1984 годах проходил стажировку в Боннском университете на кафедре политологии. В 1985 году был избран в партком КГУ и в 29 лет стал доцентом кафедры научного коммунизма КГУ. В 1985—1987 годах — заместитель секретаря парткома университета, в 1987—1989 годах — заведующий отделом Татарского обкома КПСС, в 1989—1991 годах — сотрудник аппарата ЦК КПСС в Москве.
C 1993 года по настоящее время — депутат Государственной думы РФ. Избирался во всех случаях по одномандатному округу в Казани и Набережных Челнах в Татарстане. В Думе первого созыва возглавлял подкомитет по межрегиональному сотрудничеству. В Думе второго и третьего созыва возглавлял депутатские группы «Российские регионы» и «Регионы России» соответственно. В Думе четвёртого созыва входит в состав фракции «Единая Россия». С сентября 2005 года — Первый заместитель Председателя Государственной думы.
С декабря 2007 года — депутат Государственной Думы пятого созыва; избран в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Первый заместитель Председателя ГД. Член Комитета ГД по бюджету и налогам.
С декабря 2011 года — депутат Государственной Думы шестого созыва; избран в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Заместитель Председателя ГД. Член Комитета ГД по бюджету и налогам.
Жена, Земфира, предприниматель. Две дочери —- Арина и Глафира. Внуки — Иван и Степан.