Родился в Тбилиси. После окончания семи классов средней школы, работал слесарем на заводе им. Калинина. Занимался в молодёжной театральной студии. В 1942 году был принят в Тбилисский русский драматический театр им. А. С. Грибоедова.
В 1943 году Ножери Давидович ушёл добровольцем в армию. Служил в войсках МВД по охране и обороне особо важных объектов и железных дорог, был художественным руководителем ансамбля солдатской эстрады. Награждён медалями «За оборону Кавказа», «За победу над Германией», «30 лет Советской Красной армии».
С 1950 года работал в Тбилисском русском театре юного зрителя, а также преподавал в студии при театре. За время работы в Тбилисском ТЮЗе был награждён грамотами Министерства культуры Грузинской ССР, Аджарской АССР, грамотами советско-партийных органов, значками «Отличник народного образования Грузии» и «Отличник культурного шефства над Вооружёнными силами СССР».
С 1962 по 1966 год работал в Тульском областном драмтеатре им. Горького и преподавал актёрское мастерство и режиссуру в Тульском педагогическом институте. Избирался членом художественного совета и режиссёрской коллегии театра. Награждён значком «Отличник Министерства культуры СССР», грамотами Министерства культуры Литовской и Латвийской ССР.
С 1966 года работал в Омском драматическом театре. С 1970 по 1987 год — председатель Омского отделения ВТО Союза театральных деятелей России.
Умер 2 ноября 1987 года. Похоронен в Омске, на Северном кладбище. 27 марта 1989 года Омскому дому актёра присвоено имя Народного артиста РСФСР Ножери Давидовича Чонишвили.
Жена — Валерия Прокоп, народная артистка России, актриса Омского драматического театра. Сын — Сергей Чонишвили, известный российский актёр театра и кино, артист озвучки, заслуженный артист России.