Нил Армстронг родился в городе Уапаконета, штат Огайо, в семье Стивена Армстронга (англ. Stephen Koenig Armstrong) и Виолы Энгель (англ. Viola Louise Engel). У него были младшие сестра и брат: Джун (англ. June) и Дин (англ. Dean). Отец, Стивен Армстронг, работал на правительство штата, и после рождения Нила семья часто переезжала из города в город: они успели пожить в 20-и различных городах до того, как окончательно осели в Уапаконете в 1944-м году. К тому времени Нил уже был активным участником движения бойскаутов Америки (Boy Scouts of America), где он в конечном счете достигнет самого высокого ранга Eagle Scout. Будучи взрослым, он также получит от них награды Distinguished Eagle Scout Award и Silver Buffalo Award.
В 1947-м году Нил начал изучать авиационную промышленность в Университете Пердью, где он вступил в студенческие братства Phi Delta Theta и Kappa Kappa Psi. В своей семье он стал вторым человеком, который пошел в колледж. Его также брали и в Массачусетский технологический институт, но единственный знакомый ему инженер (который там учился) отговорил его от учебы там, аргументируя тем, что за хорошим образованием совсем необязательно ехать в Массачусетс. Оплату его обучения в колледже взяло на себя государство (Holloway Plan), а взамен Нил обязывался отслужить 3 года в армии после 2-х лет обучения (оставшиеся 2 года учебы оканчивались уже после службы). В первые два года учебы Нил получал средние оценки.
Служил в ВМС США в Льюисском исследовательском центре лётчиком-испытателем, испытывал реактивные самолёты, участвовал в Корейской войне, в которой совершил 78 боевых вылетов на истребителе-бомбардировщике Grumman F9F Panther и был один раз сбит. Получил Авиационную медаль и две Золотые звезды[уточнить].
Затем стал лётчиком-испытателем. В 1962 году был зачислен в отряд гражданских пилотов в рамках проекта NACA (впоследствии преобразованного в NASA). В ноябре 1960 г. совершил свой первый полёт на ракетоплане North American X-15.
В марте 1966 был командиром космического корабля «Джемини-8», совершившего полёт в космос. В ходе этого полёта он и астронавт Дэвид Скотт осуществили первую орбитальную стыковку двух космических кораблей.
В июле 1969 года командовал КК «Аполлон-11», выполнявшим полет к Луне. 21 июля стал первым человеком, ступившим на поверхность Луны. Произнесённая им при этом фраза: «Маленький шаг для человека, но гигантский скачок для всего человечества», — вошла в историю. Армстронг и его напарник Эдвин Олдрин провели на Луне 2,5 часа. За этот полёт Армстронг был награждён медалью НАСА «За выдающиеся заслуги» и удостоен Президентской медали Свободы.
В 1970—1971 годах занимал должность в штаб-квартире NASA, в отделе передовых исследований и технологий.
Оставил работу в NASA в 1971 году, после чего до 1979 года преподавал в Университете Цинциннати. С 1985 по 1986 год был членом Национального комитета по космонавтике. В 1986 году был вице-председателем следственной комиссии, изучавшей обстоятельства гибели шаттла «Челленджер». Занимается бизнесом, возглавляет компанию AIL Systems, Inc. (Deer Park, N.Y.).
В 1999 году принял участие в телевизионном проекте BBC: Планеты в качестве эксперта.
В 2009 году награждён высшей наградой США Золотой медалью Конгресса.
Женат, имеет двоих сыновей и живёт в штате Огайо.