Родился 27 января 1853 года в Санкт-Петербурге в семье скульптора Роберта Ивановича Баха. Общее образование получил в гимназии St.Petri-Schule с 1864 по 1870 год. Одновременно учился скульптуре и живописи у отца, а затем, сразу после окончания школы в 1870 г. поступил в Императорскую Академию художеств. Учась в Академии, Бах был удостоен малой золотой медали за программную работу «Давид, бросающий камень» в 1873 г. Следующая учебная работа Баха в 1877 г. была отмечена большой серебряной медалью. За выпускную программу «Весна» (аллегория из поэмы Шиллера) Бах получил звание художника 1-й степени и был выпущен из Академии в 1879 году.
В 1880 году он выполнил бюст графа И. Е. Ферзена, заказанный ему императором Александром II. В 1881 году исполнил портрет Александра III (бюст в натуральную величину). В 1882 году он начал работу над композицией «Смерть Олега» (Песнь о вещем Олеге), за которую в 1884 году он получает звание академика скульптуры. В том же году он заканчивает свою выдающуюся работу — «Пифия» (1884 г).
Еще в годы учебы в ИАХ Бах исполнял многочисленные заказы на модели небольших ваз, подсвечников и пепельниц, декорированных рельефами в различных стилях, для бронзолитейной фабрики Никольса и Плинке в Санкт-Петербурге, где его отец был главным художником и директором. В 1884 году Бах тяжело заболел, но не переставая работать, подписал контракт с Каслинским чугуно-литейным заводом, который наряду с промышленными заказами, выпускал мелкими партиями и высоко-художественную продукцию для интерьеров домов и учреждений. Летом 1884 г. Бах выехал в Касли, где вплоть до своей преждевременной смерти работал заводским скульптором и успел подготовить к тиражированию в чугуне два десятка привезенных им из Санкт-Петербурга бронзовых моделей, среди которых было значительное количество его собственных работ и работ его отца — Роберта Ивановича Баха. Он сумел также возобновить занятия в школе, открытой его предшественником — М. Д. Канаевым. В этой заводской школе Бах обучал рабочих рисованию и лепке, секретам получения тонкостенных отливок. В июне 1885 года Н. Р. Бах скончался от туберкулеза и похоронен в Каслях на местном кладбище.