Школу закончил в Одессе, физический факультет Киевского университета — уже во время оккупации.
В 1943 г. переехал в Германию, последний год войны встретил в Гамбурге. Начал публиковаться в 1948 в журнале «Грани».
Переехав в Соединенные Штаты в 1950, поселился в Монтерее (Калифорния), на берегу Тихого океана. Тридцать лет подряд (до 1977) преподавал русский язык.
В 1950 г. рецензию на его стихи опубликовал Георгий Иванов, первый серьёзный поэт, заметивший Моршена. Давняя дружба связывала Моршена с выдающимся поэтом Иваном Елагиным (Иван Венедиктович Матвеев), они были друзьями еще в оккупированном немцами Киеве.
Моршен — мастер «игры в слова». Первый сборник его стихов «Тюлень» был выпущен издательством «Посев» в 1959 г. Сборник Моршена «Эхо и зеркало» построен на игре слов и стихотворений, но это был еще и паноптикум жанров: один палиндром, один верлибр, один моностих, один поэтический перевод. Иные стихи намеренно превращены в загадочную картинку: рифмы скрыты, математические символы нужно называть словами, иначе стихи распадутся, даже геометрические знаки, вовсе никаких слов не содержащие, становятся частью стихотворения. Похожими экспериментами, параллельно с Николаем Моршеном, занимался в СССР его современник Семён Кирсанов.