Родился в семье военного врача Милия Николаевича Аничкова за 20 дней до начала Великой Отечественной войны. В раннем детстве пережил блокаду Ленинграда. В 1965 году окончил 1-й Ленинградский медицинский институт им. акад. И. П. Павлова по специальности «лечебное дело». После окончания очной аспирантуры в 1970 г. работал младшим научным сотрудником в отделе патологической анатомии НИИ экспериментальной медицины АМН СССР. Позже в течение 3 лет был старшим научным сотрудником лаборатории патоморфологии НИИ хирургического туберкулёза МЗ РСФСР. В 1972 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Морфогенез экспериментального псевдотуберкулёза».
К 2011 году Н. М. Аничков опубликовал более 300 научных трудов, в том числе 7 монографий (в соавт.), 7 сборников научных трудов, 2 учебника для медицинских вузов РФ (один из них в трёх изданиях, в соавт.), 1 атлас для врачей (в соавт.), 6 руководств для медицинских вузов (в соавт.), более 30 статей в журналах США и ЕС. Под его научным руководством и при его научной консультации выполнено 6 докторских и более 20 кандидатских диссертаций. Главные направления научных работ Н. М. Аничкова: верификация маркеров малигнизации и тканевой специфичности опухолей, изучение патогенеза метастазирования и роли лимфангионов в этом процессе, усовершенствование морфологических классификаций опухолей, исследование нейро-эндокринных дифферонов в норме и при опухолевом росте.
В 2002 году Н. М. Аничков избран член-корреспондентом РАМН, стал Заслуженным деятелем науки РФ, был назначен главным патологоанатомом в Северо-Западном федеральном округе РФ. В 2006 году его избрали вице-президентом Российского общества патологов. В 1989—1993 гг. Н. М. Аничков состоял членом исполкома Европейского общества патологов. Ныне он является также членом Российского и Британского отделений Международной академии патологии (МАП, Вашингтон), а в течение 1996—2003 гг. был президентом Российского отделения МАП (организованного по его инициативе в 1992 г.). В качестве лауреата различных зарубежных грантов работал во многих крупных институтах патологии за границей. В 1993 году в Инсбруке был награждён дипломом конкурса диагностов-патологов «Expert-Quiz». Кроме того, он является: членом президиумов правления Санкт-Петербургского и Российского общества патологоанатомов, Международного союза ассоциаций патологов, почётным членом Итальянского медико-биологического общества, членом редколлегий ряда профессиональных журналов («Архив патологии», «Вестник СПбГМА им. И. И. Мечникова», «Pathology: Research and Practice» (1989—1996), «Системный анализ и управление в биомедицинских системах» (2004—2006) и др.).