Окончил курс в вологодской гимназии в 1867 г.
В 1869 г. поступил в Петербургский университет на факультет восточных языков по арабско-турецкому разряду. За сочинение на тему «О податях и повинностях, налагавшихся монголами на побежденных народов» получил золотую медаль.
По окончании курса в 1873 году был оставлен при университете; по защите диссертации на степень магистра «Очерк историко-географических сведений о Хивинском ханстве с древнейших времен до настоящего» (СПб., 1877) был утвержден доцентом, а в 1890 г. — исправляющим должность ординарного профессора. За это время им напечатаны статьи: «Манкытская династия, ныне царствующая в Бухаре» («Туркест. ведом.» 1878 г.), «Русские невольники в среднеазиатских ханствах» (ibid. 1879), «Сведения об официальном преподавании восточных языков в России» (в «Трудах 3 международного съезда ориенталистов», СПб., 1880), «Куликовская битва» («Древняя и новая Россия», 1870 г.), «Прием в России и отпуск среднеазиатских послов в XVII и XVIII столетиях» («Журнал министерства народного просвещения», 1884 г.), «Посольство к зюнгарскому хун-тайчжи Цэван Рабтану капитана от артиллерии Ивана Унковского» («Записки Императорского Русского географического общества по отд. этнографии», 1887), «В. В. Григорьев, по его письмам и трудам» (СПб., 1887), «Рамазан в Самарканде и курбан-байрам в Бухаре» («Исторический вестник», 1888), «Памятники дипломатических сношений Московской Руси с Персией» (СПб., 1890), «Иван Данилович Хохлов, русский посланник в Персию и в Бухару в XVII веке» («Журнал министерства народного просвещения», 1891).
В 1885 году Веселовский был командирован в Туркестанский край с археологической целью. Результаты этой поездки частью обнародованы в изданиях Императорского Русского археологического общества. Николай Иванович вел раскопки развалин древнего городища, расположенного в непосредственной близости от Самарканда — Афрасиаба. Им было найдено большое количество различных предметов древности, в том числе остатки оссуариев, глиняные и кирпичные стены домов, остатки колодцев, общественных хранилищ воды (хаузов) и водоотводных сооружений. Веселовский продолжал раскопки на Афрасиабе и в 1895 году.
С именем Николая Ивановича связано проведение первых научных описаний (фиксаций) выдающихся историко-архитектурных памятников Самарканда. В 1895 году он возглавил экспедицию ученых, архитекторов, художников, которая изготовила чертежи и рисунки мечети Биби-Ханым и мавзолея Гур-Эмир. В 1905 году по материалам этой экспедиции был создан многокрасочный альбом, посвященный мавзолею Гур-Эмир.
1896 год - Николай Иванович вёл раскопки захоронений близ станицы Белореченская. 1897 год - Николай Иванович вёл раскопки кургана близ г.Майкоп. 1898 год - Николай Иванович вёл раскопки одного кургана близ аула Уляп (Адыгея) и нашел в нем богатое погребение скифского вождя. Последующие 20-ть лет Николай Иванович активно вёл раскопки в Адыгее. Некоторые обнаруженные им сокровища курганов имеют возраст около 5 тысяч лет. особое место среди его находок занимает Майкопский курган, который положил начало открытию майкопской культуры. 1917 год - ноябрь, Николай Иванович, закончив очередной сезон раскопок возвращается в Петроград. Пытается подвести итоги своим научным поискам и находкам. 1918 год - 30 марта, болезнь обрывает его жизнь и деятельность.