Родился 28 декабря 1918 года в посёлке Ахалдаба ныне Боржомского района Грузии в семье железнодорожника. Грузин. В начале 30-х окончил 7 классов средней школы. По ходатайству Боржомского районного комитета комсомола был послан на учёбу в планерную школу в город Пушкин Московской области, которую окончил в 1937 году, В этом же году в городе Боржоми открывается школа планеристов (в посёлке Папа) при Боржомском разливочном заводе минеральных вод имени С. К. Орджоникидзе, куда Николая Георгиевича пригласили работать инструктором. В 1938 году поступил в аэроклуб города Гори Грузия, после окончания которого был направлен в Качинское авиационное училище, которое он блестяще закончил в 1940 году в звании младшего лейтенанта. После окончания училища, где он учился вместе с Василием Сталиным, был направлен в войска. Службу проходил в истребительном полку на западной границе.
Участник Великой Отечественной войны с первого дня. Воевал на Северо-Западном фронте. К концу 1941 года совершил более ста вылетов в которых сбил восемь самолетов врага.
С лета 1942 года в составе 273-го истребительного авиационного полка принимал участие в Сталинградской битве. В воздушном бою над городом Калач он уничтожил два Ме-109, но и сам был сбит. Воспользовавшись парашютом, раненый вернулся в полк. Позже сбил ещё 6 вражеских самолетов. Всего за период боёв под Сталинградом им были сбиты 11 вражеских самолётов
30 ноября 1942 года в жестокой схватке над аэродромом Питомник самолет капитана Абрамашвили был сбит. Он направил горящую машину на скопление вражеской техники и погиб, нанеся противнику большой урон.
Указом Президента Российской Федерации от 21 сентября 1995 года (N 961) за мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов капитану Николаю Георгиевичу Абрамашвили присвоено звание Героя Российской Федерации посмертно.
Награждён орденом Красного Знамени.
В селе Ахалдаба Боржомский района, где прошла юность лётчика, установлен обелиск