Николай Бокий родился 22 ноября 1918 года в станице Уманская (ныне Ленинградская) Краснодарского края, в семье крестьянина.
Окончил неполную среднюю школу. Работал слесарем-сантехником в городе Ростове-на-Дону.
Служил в Военно-Морском Флоте с 1939 года. В 1941 году окончил Ейское военно-морское авиационное училище. На фронтах Великой Отечественной войны с сентября 1941 года. Н. А. Бокий воевал в составе 72-го истребительного авиационного полка, который в 1942 году был преобразован во 2-й Гвардейский истребительный авиационный полк ВВС Северного флота. Николай Бокий был одним из учеников прославленного лётчика-североморца дважды Героя Советского Союза Б. Ф. Сафонова. Член ВКП(б)/КПСС с 1942 года.
Николай Бокий участник воздушного боя 19 апреля 1943 года, в котором он вместе с командиром полка Героем Советского Союза П. Г. Сгибневым, лётчиками полка В. А. Горишным, А. М. Титовым, З. А. Сорокиным сбил знаменитых фашистских асов — фельдфебелей Мюллера и Добриха.
24 июля 1943 года Николаю Андреевичу Бокию присвоено звание Героя Советского Союза, а чуть ранее он был удостоен одной из наград Великобритании — медали «За лётные боевые заслуги».
В 1954 году Н. А. Бокий окончил Военно-Воздушную академию. Продолжал служить в авиации Военно-Морского Флота СССР до 1965 года. С 1965 года гвардии полковник Бокий Н. А. жил в городе Ростове-на-Дону и работал в Северо-Кавказском управлении гражданской авиации.
Умер 9 сентября 1995 года, похоронен в Ростове-на-Дону.