В 1979 году Николай Слепнёв окончил музыкальное училище имени Мусоргского в Ленинграде под руководством А. Турчанинова и Г. Страутмана. Высшее музыкальное образование он получил в Ленинградской консерватории, которую он закончил в 1985 году по классу Валентина Галузина. Во время учёбы в консерватории Слепнёв играл в духовом оркестре Ленинградского отделения МВД. С 1985 года он артист оркестра Театра оперы и балеты имени Кирова (впоследствии Мариинского театра). Николай Слепнёв также является участником брасс-квинтета и брасс-ансамбля Мариинского театра.