В 1891 году окончил Казанский университет.
В 1888—1890 годах вместе с А. В. Фоминым и Н. И. Кузнецовым совершил по поручению Императорского Русского географического общества несколько ботанико-географических экспедиций («экскурсий») по Кавказу. Часть гербария кавказских растений, собранного Бушем в 1894—1896 годах (более 400 листов), находится в Гербарии имени И. П. Бородина Санкт-Петербургской лесотехнической академии
С 1893 по 1895 годы обучался в Лесном институте в Санкт-Петербурге.
В 1900 году был принят в Юрьевский университет на должность приват-доцента.
С 1902 года работал младшим консерватором Санкт-Петербургского Императорского ботанического сада. В 1903 году защитил диссертацию «Ranales флоры Кавказа» на соискание звания магистр ботаники.
С 1908 по 1911 годы преподавал ботанику на Стебутовских женских сельскохозяйственных курсах в Санкт-Петербурге. В то же время с 1909 года занимал должность приват-доцента Санкт-Петербургского университета, а в 1911 году защитил диссертацию «Rhoeadales и Sarraceniales флоры Кавказа» на соискание звания доктор ботаники.
С 1911 года профессор Санкт-Петербургских высших женских курсов.
С 1910 по 1917 годы — заведующий кафедрой ботаники Психоневрологического института. В 1912—1931 годах работал в Ботаническом музее, а с 1931 года — в Ботаническом институте АН СССР.
В период с 1894 по 1911 год Буш осуществил одиннадцать путешествий на Кавказ, один раз посетил Крым. За экспедиции на Кавказ Императорское Русское географическое общество наградило его медалью имени Пржевальского.
Основные труды Н. А. Буша посвящены исследованиям флоры и растительности России, главным образом, Кавказа, большим знатоком которой он был ещё со студенческих лет, а также Сибири и Дальнего Востока.
Буш описал много новых видов кавказских растений; составил ботанико-географические карты Осетии, Дигории и других районов Кавказа.
В работе Н. А. Буш предложил деление Сибири на ботанико-географические области.