Никита Алексеев начал свою профессиональную карьеру в 1998 году в составе клуба Хоккейной лиги Онтарио «Эри Оттерз», который в том же году выбрал его в 1 раунде под общим 5 номером на драфте Канадской хоккейной лиги. В своём дебютном сезоне Никита провёл на площадке 66 матчей, в которых он набрал 37 (18+19) очков, однако уже в следующем сезоне он сумел значительно повысить свою результативность, отметившись 60 (28+32) баллами в 77 играх, после чего на драфте НХЛ он был выбран в 1 раунде под общим 8 номером клубом «Тампа Бэй Лайтнинг».
В сезоне 2000/01 Алексеев сумел стать одним из лучших бомбардиров «Эри», записав на свой счёт 86 (38+48) очков в 75 проведённых матчах, после чего он попал в систему «Тампа Бэй». В своём первом же сезоне на высшем уровне Никита сумел закрепиться в основном составе «молний», проведя на площадке 44 матча, и набрав 8 (4+4) очков. В сезоне 2002/03 Алексеев также попеременно выступал в составе «Тампы» и её фарм-клуба «Спрингфилд Фэлконс», а вот в следующем году из-за серьёзной травмы плеча он смог провести лишь 14 матчей в АХЛ.
Перед стартом локаутного сезона Никита продлил своё соглашение с «Тампа Бэй» ещё на один год, также проведя его в составе «Спрингфилда». Летом 2005 года Алексеев принял решение вернуться на Родину, подписав контракт с омским «Авангардом», в составе которого в сезоне 2005/06 набрал 9 (6+3) очков в 45 матчах, завоевав вместе с клбуом серебряные медали чемпионата страны. Тем не менее, уже в следующее межсезонье Никита вновь вернулся в «Тампу», отметившись в её составе 21 (11+10) результативным баллом в 63 играх, однако незадолго до старта плей-офф он был обменян в «Чикаго Блэкхокс», в составе которого и завершил сезон 2006/07.
23 августа 2007 года Алексеев заключил однолетнее соглашение с казанским «Ак Барсом», с которым в том же сезоне он стал обладателем Континентального Кубка. Перед началом дебютного сезона Континентальной хоккейной лиги руководство казанского клуба приняло решение продлить контракт с игроком, после чего Никита отметился 22 (11+11) набранными очками в 75 проведённых матчах, став вместе с командой обладателем первого в истории Кубка Гагарина. В сезоне 2009/10 результативность Алексеева по причине травмы слегка спала, однако это не помешало казанцам во второй раз подряд стать сильнейшим клубом КХЛ, а сам Никита стал автором «золотой» шайбы в седьмом матче финала против подмосковного ХК МВД.
В следующем сезоне травмы вновь помешали Алексееву провести полноценный сезон; в итоге в 42 проведённых матчах он набрал 10 (3+7) очков. Перед стартом сезона 2011/12 Никита получил тяжёлую травму плеча, из-за которой ему потребовалась операция, в реузультате чего он выбыл на 6 месяцев. В итоге, так и не проведя ни одного матча в сезоне, 13 января 2012 года Алексеев был отзаявлен из состава «Ак Барса», а уже спустя два дня он подписал контракт с череповецкой «Северсталью».