Лучший бомбардир в истории клуба «Спартак» (Москва) — 160 голов, также является лучшим бомбардиром команды в матчах чемпионата страны — 133 гола.
Воспитанник сухумского футбола. Первый тренер — Шота Ломинадзе.
После шестнадцати лет проживания в Сухуми переехал в Москву, в местные «Крылья Советов» куда его пригласили Владимир Горохов и Абрам Христофорович Дангулов тренировавшие в то время клуб. Владимир Горохов стал первым тренером Симоняна в Москве.
Первый матч чемпионата Симоняну предстояло сыграть в Сухуми против минского «Динамо». Когда он прибыл в город, оказалось, что в его доме был обыск, а также был арестован его отец. Арест был организован властями Грузии, чтобы надавить на молодого футболиста, пытаясь таким образом переманить Симоняна в тбилисское «Динамо». Провокация не сработала, и Симонян продолжил выступать в «Крыльях Советов», где провёл три года.
В 1948 году «Крылья Советов» заняли в чемпионате последнее место, после чего было принято решение расформировать клуб. Тренеров Дангулова и Горохова перевели в «Спартак», а игроков распределили по разным московским клубам. Симонян по решению секретариата ВЦСПС должен был быть переведён в «Торпедо». Но помимо приглашения из Торпедо, поступило приглашение из «Спартака». Причём в команду автозавода его приглашал директор ЗИСа Иван Лихачёв. Однако желание играть за «Спартак» было сильнее. Выступал за «Спартак» в 1949—1959 годах.
24 ноября 2009 года назначен исполняющим обязанности президента Российского футбольного союза после отставки Виталия Мутко, Симонян находился в должности до 3 февраля 2010. На внеочередной конференции Российского футбольного союза 3 февраля новым президентом был выбран Сергей Фурсенко.
25 марта 2011 года за день до футбольного матча между Арменией и Россией в Ереване президент Армении Серж Саргсян наградил Никиту Симоняна «Орденом Почёта». На церемонии награждения Никита Павлович заявил