Воспитанник жамбылского футбола. Поиграл в многих клубах Казахстана, наибольшую известность получил играя за «Иртыш» из Павлодара и «Актобе». В сезоне 2010 забил свой 130 мяч в чемпионатах.
В 2010 году вернулся в «Иртыш», контракт действует с 2011 годa. В конце марта 2011 года получил игровую травму колена, 2 апреля 2011 года ему была сделана операция в Москве.
Мурат Тлешев выступал за сборную Казахстана с 2004 по 2007 год. Провёл 8 матчей и забил 1 гол в матче со сборной Таджикистана. Перестал вызываться в национальную команду после прихода на пост главного тренера — немецкого специалиста Бернда Шторка, который в свою очередь ссылался на слишком большие габариты для нападающего.
Нападающий таранного типа.