Первым клубом Мурата был актауский «Каспий». Затем он играл в «Ордабасы», «Тоболе», «Астане» и «Шахтёрe». После хорошей игры у «горняков» Мурат подписал контракт с «Локомотивом» из Астаны. Сезон у него не складывался, и он решил уйти в родной «Ордабасы».
После сезона 2009 Мурат перешёл в «Тобол». Забил первый гол за «Тобол» своему родному «Ордабасы» и посвятил мяч Мурату Оразалиеву.
После окончания сезона на правах свободного агента перешёл в «Кайрат».
В сборной Казахстана Суюмагамбетов играл с 2006 по 2008 год, провёл 19 игр. Забил 3 мяча. Последний вызов был в сезоне 2008. Больше в сборную страны Мурат не вызывался.
Отец Мурата — Али — в прошлом футболист, защитник.