Мойше Финкель родился и вырос в Кишинёве. В 1876 году под впечатлением от гастролировавших в городе первых еврейских трупп из Румынии увлёкся театром и был принят в труппу Аврума Гольдфадена, основателя современного еврейского театра. Спустя год от труппы Гольдфадена отделился Исрул (более известный как Срулик) Гроднер, который был её главной звездой. Гроднер пригласил Мойше Финкеля с женой (также актрисой) Анеттой Шварц (Финкель) с собой в свою новую компанию в Яссах. У Гроднера супруги работали до конца театрального сезона 1880 года, а в следующем сезоне 1881—1882 года путешествовали с труппой другой звезды раннего еврейского театра Якова Спиваковского (1853—1914) по городкам Бессарабии и южной Малороссии.
Следующий театральный сезон 1882—1883 года Финкель провёл вместе с женой в составе труппы Осипа Лернера (1847—1907) в Одессе, где познакомился с ведущим актёром этой труппы Зейликом Могулеско. К следующему театральному сезону Финкель основал собственную труппу — «Общество еврейских опереточных и драматических артистов под режиссёрством М. Финкеля», с которой 3 мая 1883 года начал гастроли в Ростове-на-Дону. Репертуар труппы был практически идентичен прошлогоднему сезону труппы Лернера. В него вошли пьесы Н. М. Шайкевича (Шомера, 1849—1905) «Сироты» (Ди йесоймим), «Маменькин сынок», «Каторжник» (она же «Волк в овечьей шкуре»), «Демон, или удар за ударом» и его же адаптация гоголевского «Ревизора» под названием «Сам себя надул». Из других авторов исполнялись пьеса «Менахем, сын Израиля» (Менахем бен Исруэл) одесского драматурга Ш. И. Каценеленбогена в адаптации О. М. Лернера, в июньской премьере которой приняли участие Дувид Кесслер и Аба Шейнгольд; популярные оперетты Аврума Гольдфадена «Доктор Альмасадо», «Колдунья» (Ди кишефмахерн), «Бабушка и внучка» (Ди бобэ митн эйникл, с примадонной Розой Фридман), «Суламифь» (Шуламис) и «Фанатик, или Два Куни-Лемла» (Дэр фанатик, одэр ди цвэй Куне-Лэмл(эх) — то есть два простофили); «Агина» Марии Лернер; «Рафаэль Дельмунти» А. Тера; «Уриэль Акоста» Карла Гуцкова в переводе на идиш Осипа Лернера. Специально для Анетты Финкель были поставлены спектакли по пьесе О. Лернера «Дебора» (Двойрэ) и «Жидовка» (А идишке) по адаптированному Лернером либретто Огюстина Эжена Скриба (1791—1861) к опере Жака Фроменталя Галеви (1799—1862) «La Juive» (Еврейка, 1835).
Однако, в сентябре того же 1883 года театральные постановки на «еврейском жаргоне» в России были запрещены постановлением товарища (заместителя) министра внутренних дел генерал-лейтенанта Оржевского и большинство артистов подались в соседнюю Румынию. В Бухаресте Финкель в партнёрстве с Зейликом Могулеско создали совместную труппу, которая стала заниматься главным образом опереттой и музыкальной комедией. Труппа играла в «Жигнице» на улице Негру-Водэ и в летнем саду на Каля Вэкэрешть, в самом центре еврейского района города; регулярно выезжала на гастроли в Яссы, Ботошаны и Галац. С самого начала в ней помимо Могулеско и четы Финкель играли Аба Шейнгольд, Дувид Кесслер и Зейлик Файнман; известный в будущем драматический актёр, совсем молодой тогда Леон Бланк присоединился к труппе на гастролях в Бырладе хористом. Из-за разногласий с Могулеско, Финкель некоторое время управлял труппой сам, но не столь успешно, учитывая то, что именно Могулеско был общепризнанным любимцем публики; уже к новому сезону Могулеско был приглашён вновь. В 1886 году Могулеско посетил Нью-Йорк и в том же году обосновался там вместе с основным составом труппы, включая Финкеля, Кесслера, Файнмана и Бланка.
В Нью-Йорке теперь уже Моррис Финкель продолжил вместе с теперь уже Зигмундом Могулеско руководить труппой последнего, которая первоначально базировалась в Union Theatre. На гребне ошеломляющего успеха Могулеско и Финкель в 1889 году разделились: Могулеско основал «Румынский оперный театр» (Roumanian Opera House) с ориентацией на водевиль и оперетту, в котором до 1891 года работали и теперь уже Дэйвид Кесслер с теперь уже Зигмундом Файнманом; Финкель, который поначалу был менеджером и режиссёром Румынского оперного театра и театра Thalia, вскоре создал собственную компанию — Национальный Театр (The National Theatre) и занялся подбором актёров. Так в середине 1890-х годов именно он переманил из Филадельфии и таким образом открыл для широкой публики Бориса Томашевского (1858—1939), который тотчас стал ведущим артистом Национального театра, а затем и полноправным партнёром Финкеля.
В начале 1890-х годов Финкель развёлся с женой (Анеттой Шварц), которая впоследствии вернулсь в Румынию, и в 1893 году познакомился и завязал роман с шестнадцатилетней сестрой Бориса Томашевского Эммой, которая тогда пела в хоре Национального театра. Борис Томашевский в своих изданных много позднее, в 1937 году, мемуарах — вероятно несколько преувеличивая — вспоминает, что перед одним из представлений он вывел на сцену свою младшую сестру и заставил её пообещать перед переполненным залом, что дальнейшего продолжения её романа со старшим по возрасту Финкелем не будет. Публично униженная перед двухтысячной аудиторией Эмма поклялась как полагается и через несколько дней сбежала с Финкелем в Филадельфию, где они расписались и создали семью. Национальный театр целиком достался Томашевскому.
Дочери Финкеля от второго брака с актрисой Эммой Томашевской пошли по стопам отца и стали актрисами еврейского театра:
Совпадение или нет, но много лет спустя после семейной трагедии Финкелей, племянник Эммы Томашевской-Финкель, сын её брата — знаменитого актёра Бориса Томашевского — бруклинский отоларинголог Милтон Томашевский был парализован в результате огнестрельного ранения спинного мозга, нанесённого ему прямо в медицинском кабинете бывшей любовницей.