Окончила юридический факультет Московского государственного университета (1958), аспирантуру Института государства и права Академии наук СССР. Кандидат юридических наук (1966; тема диссертации: «Уголовное судопроизводство Германской Демократической Республики»). Доктор юридических наук (1989; тема диссертации: «Теоретические основы оценки качества и организации правосудия по уголовным делам: процессуальные, статистические и социологические аспекты»). Профессор. Заслуженный юрист Российской Федерации, заслуженный деятель науки Российской Федерации.
В 1958—1971 — аспирант, младший научный сотрудник Института государства и права АН СССР. В 1971—1991 — старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник, главный научный сотрудник Всесоюзного научно-исследовательского института советского государственного строительства и законодательства. Профессиональные интересы — судебная власть, уголовный процесс, социология и психология правосудия, конституционный судебный контроль, сравнительное правоведение. Занималась исследованием судебных ошибок и их причин (соавтор монографии на эту тему). Принимала участие в разработке Конституции Российской Федерации, Концепции судебной реформы в Российской Федерации, а также проектов Федерального конституционного закона «О Конституционном Суде Российской Федерации», Федерального закона «Об обжаловании в суд действий и решений, нарушающих права и свободы граждан», Федерального закона «О статусе судей в Российской Федерации». Автор более 130 работ и переводов ряда законов ФРГ.
29 октября 1991, на V съезде народных депутатов России в первом туре голосования была избрана членом Конституционного суда (699 голосов «за», 212 — «против»; была выдвинута кандидатом на эту должность фракцией «Беспартийные депутаты»). В феврале 1995 — апреле 2002 — заместитель председателя Конституционного суда. Была вынуждена уйти в отставку в связи с тем, что в январе 2001 года были приняты поправки к закону «О Конституционном суде РФ», согласно которым судьи, начавшие исполнять свои обязанности до 1994 года, должны уходить в отставку по достижении 65-летнего возраста. С 2002 — судья в отставке, советник Конституционного суда Российской Федерации.
Принадлежала к числу либеральных судей Конституционного суда. В сентябре 1993 вместе с меньшинством судей голосовала против того, чтобы указ президента России Бориса Ельцина № 1400 «О поэтапной конституционной реформе в Российской Федерации» был признан основанием для отрешения его от должности. В августе 1995 выразила особое мнение в связи с решением суда по соответствию Конституции указов президента и распоряжений правительства, касающихся ввода войск в Чеченскую республику. В частности, высказала несогласие с прекращением Конституционным судом производства по секретному ноябрьскому (1994) указу президента, в котором шла речь о подготовительных мерах по вводу войск в Чечню. По мнению Морщаковой, этот указ ограничивал права граждан и поэтому не мог быть засекречен.
В течение многих лет преподавала в Российской правовой академии Министерства юстиции РФи в Московской государственной юридической академии (МГЮА). В данное время - заведующая кафедрой судебной власти и организации правосудия Государственного университета — Высшей школы экономики (ГУ-ВШЭ), ординарный профессор ГУ-ВШЭ, читает курсы «Судебная власть и организация правосудия», «Пересмотр судебных актов».
Член Научно-консультативного совета Верховного суда Российской федерации, заместитель председателя Совета по совершенствованию правосудия и член Совета по развитию институтов гражданского общества и правам человека при президенте России.
10 июля 2007 в своём выступлении на конференции «Российские альтернативы» (Ходорковские чтения) заявила:
В 2007 выступила против переезда Конституционного суда в Санкт-Петербург, заявив, что это решение «безусловно, нанесёт урон конституционному правосудию, хотя бы потому, что кардинально поменяются все научные сотрудники». По её мнению, «никакой необходимости в переезде нет, акт переезда — это выражение произвола».
В ходе «Сенатских слушаний» в октябре 2009 года Тамара Морщакова выступила с критикой укрепления вертикали судебной власти и острой конкуренции между тремя высшими судами РФ.
Награждена Премией имени д-ра Фридриха Йозефа Гааза за 2005 (присуждается Германо-российским форумом).