Родился в Пичене, Верхней Силезии (современной Бычине, Польша). Учился в Бреславском университете (ныне — Вроцлавский) с 1885 по 1890 годы и продолжил обучение в Мюнхене до 1894 года, где стал ассистентом В. Дика (). С 1898 проводит год в университете Кембриджа. Кутта стал профессором в Штутгарте в 1911 году, где продолжал работать до выхода на пенсию в 1935 году.
В 1901 году разработал известное семейство методов приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.
Умер в Фюрстенфельдбруке, Германия.
Согласно грамматическим нормам русского языка, фамилия Ку?тта склоняется, поэтому говорят: «Метод Ру?нге — Ку?тты четвёртого порядка». Правила русской грамматики предписывают склонять все мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение — фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма?, Золя?. Однако иногда (и, вероятно, даже несколько чаще, чем грамматически правильный) на практике встречается и несклоняемый вариант: «Метод Рунге — Кутта».