Мария Гринберг родилась в Одессе в интеллигентной еврейской семье. Ее отец был еврейским учёным, учителем иврита. Мать — Фаня Даниловна Носкина — давала частные уроки фортепьянной игры. Семья существовала более чем скромно, рояль для 10 летней Муси Гринберг купили одесские меценаты. До 18 лет Мария брала уроки фортепьяно у известного одесского преподавателя Давида Айзберга. По курсу гармонии училась у выдающегося педагога — профессора Одесской консерватории, композитора Н. Н. Вилинского. Брала также уроки у профессора Берты Рейнгбальд.
В Московскую консерваторию Гринберг поступила в класс профессора Феликса Блуменфельда, была замечена на вступительных экзаменах Генрихом Нейгаузом. После смерти Блуменфельда продолжала занятия с Константином Игумновым. В 1933 году приняла участие в Первом всесоюзном конкурсе пианистов. Особенно была отмечена критиком Григорием Коганом. В 1935 году Мария Гринберг стала обладательницей второго места на Втором всесоюзном конкурсе пианистов. Некоторое время состояла в браке с певцом Петром Киричеком, выступала и как его аккомпаниатор.
В 1937 году её второй муж Станислав Станде вместе с её отцом были арестованы как «враги народа». Молодая пианистка, вошедшая в число самых перспективных советских пианистов, была уволена из всех государственных учреждений и нашла себе работу только в качестве аккомпаниатора любительской хореографической группы. Однако в тот период ради куска хлеба Мария Израилевна иногда нелегально участвовала в концертах, играя на литаврах. Позже ей вновь разрешили выступать как солистке. Более того, благодаря выдающемуся уровню Гринберг, на нее появился спрос, и её вновь стали радушно принимать в концертных залах Москвы, Ленинграда, Риги, Таллина, Воронежа, Тбилиси, Баку и других городов по всей территории Советского Союза.
Уже после смерти Сталина, когда Марии Гринберг исполнилось 50 лет, власти не стали возражать против её выступлений за границей. Всего Гринберг проделала 14 исполнительских туров — 12 в рамках советских республик и 2 — в Голландии, где она стала любимицей публики. Критики сравнивали, и не без оснований, её игру с искусством Горовица, Рубинштейна и Клары Хаскил. Звание Заслуженного артиста РСФСР Гринберг получила только в возрасте 55 лет. Когда ей исполнилось 62, она получила профессорство в Гнесинском Институте.
В 1970 году фирмой «Мелодия» был выпущен альбом из 13 пластинок со всеми 32 сонатами Бетховена. Таким образом, Мария Гринберг оказалась первой российской пианисткой, вынесшей на суд публики полный цикл фортепьянных сонат Бетховена. Альбом получил восторженную оценку Дмитрия Шостаковича. Советская музыкальная пресса же умалчивала об этом титаническом труде. До первой рецензии пианистка не дожила трех месяцев, а в 1978 году в советском журнале «Музыка» критик Юденич назвала эту грамзапись «истинным подвигом искусства». Также были проигнорированы и не опубликованы многочисленные обработки пианистки. Особенной ценностью являются обработки для двух роялей и сольная версия Фантазии f-moll Шуберта.
На протяжении многих лет Гринберг выступала также в фортепианном дуэте вместе со своей дочерью Никой Забавниковой.
Преподавать Гринберг начала еще в юношеском возрасте, в Одессе. Жизнь была нелегка, преподавание явилось для Муси чуть ли не главным стабильным источником заработка на долгии годы, практически до самой смерти. Взаимоотношения с частными учениками часто переростали в человескую дружбу на долгие годы. Ярчайший пример тому — Наум Штаркман. Гринберг «шефствовала» над пианистом со времени смерти Константина Игумнова. Безвозмездные занятия продолжались десятилетиями. Мария Гринберг к примеру посвятила отпуск 1957 преподаванию Штаркмана в загородном доме, будучи ослабленной после черепно-мозговой операции. Именно Гринберг организовала, собрав подписи таких авторитетов как Шостакович и Кабалевский, письмо об освобождении Штаркмана, осуждённого по статье 121 УК РСФСР (гомосексуализм). Будучи выкормышем Гринберг, Штаркман, однако, практически не упоминал имени Гринберг, выдвигая на первый план роль С.Рихтера и даже В. Клиберна (спорадическое общение в дни Конкурса имени Чайковского в 1958 году) в своем формировании. Мария Израилевна существенно в процессе своей «теневой» педагогики поднимала исполнительский и художественный уровень игры молодых пианистов, достигающих впоследствии больших успехов на концертной эстраде, получающих заграничные гастроли и лучшие отечественные залы для выступлений. Именно горечь сознания своей невостребованности и постоянные финансовые заботы привели Гринберг к отказу от занятий с уже знаменитым Дмитрием Башкировым. На занятиях настаивала близкая подруга Гринберг Левинсон. Поводом послужила неудача Башкирова с записью сонат Бетховена.
В 1960 году Елена Фабиановна Гнесина пригласила Марию Гринберг преподавать в основанном ею институте. В списке учеников Марии Израилевны мы можем найти Анну Клас, Рудольфа Керера, Бруно Лукка, Дмитрия Паперно, Наума Штаркмана, Регину Шамвили.
Гринберг обладала большим чувством юмора. Так, в 1967 году, в период арабо-израильского конфликта, когда Израиль советская власть именовала не иначе как «израильские агрессоры», пианистка представлялась как «Мария Агрессоровна».
«Бетховен научил меня мужественности, собранности… Он научил меня держаться в строгих рамках выражения, не теряя при этом ни мягкости, ни тонкости, ни богатства ощущений».
«Исполнитель в музыке может делать все, что хочет, если это логично и со вкусом».
Подавляющее большинство записей Гринберг было лицензировано и опубликовано в Японии фирмaми Denon и Triton (дигитализация студийных магнитных лент). Также в Италии была предпринята попытка нелицензированного издания записей Гринберг фирмой Arlecchino (дигитализация винила). В России фимой Мелодия выпущены 32 сонаты Бетховена на компакт дисках. Особенно следует отметить подвижническую деятельность фирмы Vista Vera, успешно выпускающая все уцелевшие звукозаписи пианистки, включая ее методические труды. Издание отличается хорошим научно-исследовательским и реставрационным уровнем.
Многочисленные обработки пианистки не изданны. Имеются данные, что многие из них уцелели в архиве пианистки проф. Юлии Туркиной.