Луис Арконада начал карьеру в клубе «Ленгокоак», находившийся недалеко от его дома. В 1970 году Арконада перешёл в клуб «Реал Сосьедад», первоначально он был игроком второго состава клуба, и лишь в 1974 году начал выступать за первую команду. В первых сезонах в «основе» «Реала» Арконада был в запасе клуба, первым и вторыми голкиперами в команде являлись Педро Мария Артола и Уррути. В 1975 году Артола перешёл в «Барселону» и Арконада занял место второго голкипера. 22 октября 1975 года Арконада дебютировал в команде в матче на Кубок УЕФА с «Ливерпулем», ближе к концу сезона Арконада стал первым номером команды, из-за Уррути, который перешёл в «Эспаньол».
С 1976 года и на протяжении 13-ти лет Арконада был бессменным стражем ворота «Сосьедада», сыграв за клуб в 551 матчей, из них 414 матчей в чемпионате Испании. Арконада выиграл с клубом 2 чемпионата страны, кубок и суперкубок Испании, был серебряным призёром первенства 1980 года, когда Сосьедад установил рекорд по числу беспроигрышных матчей, не побитый до сих пор. В 1983 году Арконада, вместе с «Реал Сосьедадом» дошёл до полуфинала кубка чемпионов, в котором проиграл будущему победителю, «Гамбургу». Были у Арконады и неприятные моменты в карьере, так в сезоне 1985—1986 он получил травму в первом же туре чемпионата, после чего был вынужден пропустить часть сезона, а другую часть провести на скамье запасных, благодаря молодому голкиперу клуба Агустину Эльдуайену, прекрасно себя проявившему, но по окончании сезона Эльдуайен перешёл в «Атлетико Мадрид» и Арконада вновь стал основным голкипером команды.
В 1987 году, благодаря, 33-х летнему Арконаде, «Реал Сосьедад» выиграл кубок Короля, победив в серии послематчевых пенальти мадридский «Атлетико», а на следующий год Сосьедад занял второе место в чемпионате и вышел в финал кубка страны. В 1989 году Арконада решил завершить карьеру игрока.
В сборной Испании Арконада стал известен ещё и тем, что перед чемпионатом мира отказался надевать гетры, на которых был изображён флаг сборной Испании. Во многом это связывали с тем, что Арконада был этническим баском, но по другой версии это было связано с каким-то предрассудком игрока, всю свою карьеру игравшего в белых гетрах, как в клубе, так и в сборной. Ещё одной приметой Арконады стал тот момент, что он не менял модель футболки, пока в ней не проигрывал.
Завершив карьеру игрока, Арконада ушёл из футбола, но в последние годы его имя всё чаще упоминается в связи с возможным назначением Арконады на пост президента «Реал Сосьедада».