В настоящее время возглавляет киевский «Арсенал».
Начинал футбольную карьеру в минском «Динамо». В 1979 году числился в составе «бело-голубых» на чемпионате СССР, но не провёл за клуб ни одного матча.
С 1982 по 1988 год играл за гомельский «Гомсельмаш» (ныне «Гомель») во второй лиге. Всего за клуб он провёл 217 матчей и забил 6 голов.
С 1986 года стал играть защитником, до этого выступал на позиции нападающего. С 1989 года по 1991 играл в клубе КИМ из Витебска. За команду он сыграл 101 матч и забил 1 гол.
В 1990 году работал тренером в клубе.
С 1992 выступал в чемпионате Белоруссии по футболу. С 1992 по 1994 играл в «Молодечно». В 1995—1997 — игрок клуба «Атака-Аура».
Закончил карьеру в клубе Динамо-93 в 1998 году.
В 1998 в 2 играх руководил минским «Динамо-93», который обе эти игры проиграл с общим счетом 0:8. В том же году возглавлял Молодечно, который в итоге занял в чемпионате предпоследнее 14-е место.
В 2003 году работал старшим тренером в минском «Локомотиве».
С 2004 по 2010 год возглавлял молдавский «Шериф» с которым стал обладателем многих титулов. В сезоне 2009-10 «Шериф» выступал в Лиге чемпионов и Лиге Европы. В первом турнире клуб дошёл до раунда плей-офф, проиграв «Олимпиакосу» в двух матчах. В Лиге Европы «Шериф» играл в группе H, занял третье место, выиграв 1 матч, 2 сведя вничью и 3 проиграв. В январе 2010 покинул свой пост.
18 мая 2010 года был назначен главным тренером белгородского «Салюта», сменив на этой должности Мирослава Ромащенко. В первом же матче при Кучуке клуб победил «Жемчужину-Сочи» 1:0. При Леониде клуб не показывал выдающихся результатов, при новом тренере «Салют» выиграл 3 матча, два свёл вничью и 9 раз проиграл. 23 августа он подал в отставку с поста главного тренера. После 25-го тура «Салют» занимал предпоследнее место в чемпионате.
С июня 2011 — главный тренер киевского «Арсенала».
Женат, сын Алексей — профессиональный футболист.