Окончил Военно-медицинскую академию в Петербурге (1899).
В 1901 году у Леонида Михайловича родился сын, будущий композитор, — Михаил Старокадомский.
В 1910—1915 годах участвовал в качестве старшего врача в Гидрографической экспедиции в Северный Ледовитый океан на ледоколах «Таймыр» и «Вайгач», возглавлявшейся Борисом Вилькицким.
В 1932—1934 участвовал в Северо-восточной полярной экспедиции Наркомвода. Именем Старокадомского назван открытый им остров (1913) в юго-восточной части архипелага Северная Земля.