Клер — одна из двух дочерей Изабеллы и Клода Фёэрстенов. Сестру уроженки Гренобля зовут Дельфин.
Родители привели Клер на корт в 9 лет.
Француженка не имеет собственного тренера, занимаясь вместе с другими теннисистками под руководством целого штаба специалистов из своего клуба: главными тренерами в этой группе числятся Эдуар Мишель и Бенуа Гакон, за ОФП отвечают Орельен Рибо и Лионель Гроссенбахер, в группе также есть психолог — эту роль выполняет Жюли Триббья.
Среди кумиров в своём фиде спорта Клер называет Роджера Федерера.