Среднее образование получил во 2-й харьковской гимназии. По окончании курса поступил на медицинский факультет Харьковского университета. В 1857 г. получил степень доктора медицины, а в следующем году был отправлен за границу на 3 года, и занимался главным образом в Вене и Берлине. По возвращении из-за границы Щелков был назначен сперва адъюнктом, а затем профессором по кафедре физиологии в Харьковском университете.
Изучая кровоснабжение скелетных мышц, русские учёные И. П. Щелков в 1863 и В. К. Задлер в 1869 годах сделали очень важное открытие, получившее название рабочей гиперемии скелетных мышц, то есть усиления их кровоснабжения при сокращении.
Работы из физиологии и физиологической химии. Автор учебника физиологии (Харьков, 1871—1873).