И. К. Новиков родился в деревне Захаровка Крапивнинского уезда Тульской губернии в многодетной крестьянской семье. Окончил учительскую школу, с 1919 года работал помощником сельского учителя, учителем в сельской школе, затем руководителем управления народного образования в Туле. В 1925 назначен директором детского дома «Светлый путь». В том же году детский дом объединили с московской школой № 10. И. К. Новиков становится её директором. В этой должности он проработал до 1952 года, пока не ушёл на пенсию после тяжелой болезни (инсульт).
В 1939 году был избран в Краснопресненский районный совет депутатов, в 1946 году — в Верховный Совет РСФСР и в областной комитет Союза работников народного образования. Кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель школы РСФСР, с 1950 года — член-корреспондент Академии педагогических наук РСФСР.
Награжден двумя орденами Ленина, тремя медалями.
И. К. Новиков разработал комплексную систему преподавания и воспитания на основе плановой организации учебной и внеклассной работы, внедрения элементов школьного самоуправления. Сам Иван Кузьмич вёл новый предмет — изучение газетных материалов. При этом в школе издавалась также школьная газета. Написал ряд статей и книг, в том числе «Организация учебно-воспитательной работы в школе». В школу приглашались видные ученые, проводившие показательные уроки по физике, химии, астрономии и др.
Под руководством И. К. Новикова 10-я (с 1934 года — 110-я) школа становится одной из лучших в Москве. В некоторые годы выпускники получали до 22 медалей.
По воспоминаниям учеников и учителей, И. К. Новиков отличался строгостью, однако в годы сталинизма старался защитить детей, чьи родители были репрессированы. Например, добился, чтобы получил золотую медаль Евгений Щукин, будущий академик. В 1937 году предложил учителям не ставить двойки детям из таких семей.
Памятная доска установлена на старом здании 110-й школы (Мерзляковский переулок, 11), в котором Иван Кузьмич директорствовал, а также в вестибюле нового здания школы (Столовый переулок, 10).
В 1997 г. снят документальный фильм «Дети Ивана Кузьмича» (режиссер и оператор М. Е. Голдовская, автор сценария М. И. Туровская)