Куликов родился в городе Муроме в семье крестьян - выходцев из д. Афанасово Муромского уезда Семёна Логиновича Куликова и Савиновой Александры Семёновны. Отец художника был незаурядным специалистом кровельного и малярного дела. Во главе небольшой артели он принимал участие в строительстве и ремонте многих зданий, церквей и жилых домов города Мурома.
Летом 1893 года по рекомендации своего бывшего учителя черчения и рисования уездной школы Н. А. Товцева Куликов знакомится с художником А. И. Морозовым, который иногда проводил лето в Муроме, где находил сюжеты для своих произведений. Он обратил внимание на способности юноши и рекомендовал родителям направить его в школу Общества поощрения художеств при Академии в Петербурге.
В сентябре 1893 года Куликов впервые едет в Москву, посещает Третьяковскую галерею, Румянцевский музей, знакомится с храмом Христа Спасителя. В ноябре 1893 года он едет в Петербург, становится помощником в мастерской А. И. Морозова, который в то время преподавал рисунок в Петербургском училище правоведения, выполняя одновременно небольшие заказы по иллюстрациям, иконам, портретам. В 1894 году Куликова принимают в школу Общества поощрения художеств. Под руководством преподавателей Н. И. Макарова, А. Ф. Афанасьева, Э. К. Липгарта он осваивает основы графики, живописи, построения перспективы и композиции.
Осенью 1896 года Куликов становится вольнослушателем Академии художеств при мастерской художника В. Е. Маковского. Однако менее чем через месяц он перешёл к И. Е. Репину.
Весной 1898 года по ходатайству своего учителя Куликов становится учеником Академии художеств. B 1901—1902 годах он принимал участие в работе над картиной И. Е. Репина «Заседание Государственного совета» вместе с Б. М. Кустодиевым. Куликов сделал 17 натурных портретных зарисовок, едва ли не основную их часть. В 1900—1901 годах Куликовым было сделано около 20 иллюстраций к произведениям Максима Горького «Коновалов» и «Двадцать шесть и одна», которые находятся в Музее-квартире А. М. Горького и Муромском историко-художественном музее.
В ноябре 1902 года Куликов оканчивает Академию художеств. Его конкурсная работа «Чаепитие в крестьянской избе» (1902) была удостоена Большой золотой медали и дала ему право быть личным почетным гражданином и право на заграничную командировку.
C 1903 по 1905 год — на правах пенсионера Академии художеств Куликов предпринимает поездки в Италию и Францию.
в 1905 году на Всемирной выставке в Льеже за «Портрет матери» (1903) Куликов награждается Большой Серебряной медалью, а за картины «В праздничный день» (1906) и «С фонарями в саду» (1906) удостаивается премии Куинджи. В 1915 году за цикл картин о Муроме Куликов удостаивается звания академика живописи.
С 1919 года Куликов работал в Муромском музее, ныне одном из значительных во Владимирской области. Долгое время Куликов руководил художественным отделом. Иван Семёнович энергично собирал из брошенных, обречённых на разграбление и уничтожение дворцов и дворянских усадеб картины, рисунки, скульптуры, предметы прикладного искусства, архивные документы, книги, исторические реликвии. Именно ему наша культура обязана спасением уникальных коллекций графов Уваровых в Карачарове.
В разные годы, помимо прочих работ, Куликовым были написаны портреты: лётчика В. П. Чкалова (1940), писателя Максима Горького (1939), артиста А. Л. Дурова (1911), археолога А. С. Уварова.
В 1947 году в доме, построенном отцом Куликова, где его семья жила с 1885 года, открылся мемориальный Дом-музей художника. В 2007 году по решению местных властей музей был закрыт, все экспонаты перевезены в Муромский историко-художественный музей. Дом находится в частной собственности потомков художника.
Супругой художника была Куликова Елизавета Аркадьевна, урождённая Соколова. Супругой брата её матери была племянница известного изобретателя в области телевидения В. К. Зворыкина. Семьи много общались, вели активную переписку. Образ жены запечатлён Куликовым на полотнах «В русском наряде», «У околицы», «Портрет Е. А. Куликовой» и др.
Единственная дочь художника, Татьяна, учитель русского языка и литературы, вышла замуж за Н. А. Беспалова, архитектора, художника-акварелиста, заслуженного архитектора РСФСР. Образ Тани также нашёл отражение в картинах художника: «Портрет дочери» и др. Примечательно, что карандашный портрет своего будущего свата, токаря Беспалова Андрея Николаевича, он сделал ещё в 1934 году.