Родился 26 мая 1842 года в селе Антоново Сквирского уезда Киевской губернии в семье священника.
Окончил Киево-Софийское духовное училище и Киевскую духовную семинарию. В 1862 году экстерном сдал экзамены в Первой киевской гимназии, и поступил на естественный факультет в Киевский университет св. Владимира (ныне Университет им. Т. Шевченко). Впоследствии перевёлся на медицинский факультет (1863 год), который закончил с отличием в 1869 году. 6 марта 1872 года защитил докторскую диссертацию «О лимфатических сосудах лёгких».
В 1873 году Сикорский переехал в Петербург, где поступил на должность приват-доцента в клинике душевных болезней при Военной медико-хирургической Академии, руководил которой в то время профессор Балинский. В 1880 Иван Алексеевич был назначен на должность чиновника по особым поручениям при начальнике Главного управления военно-учебных заведений. Он совмещал государственную службу с работой в Академии до 1882, в котором был назначен штатным ординатором в психиатрической больнице святого Николая Чудотворца. В этом же году Сикорский выступил на Международном Съезде по гигиене в Женеве с докладом «О детях, трудных в воспитательном отношении».
Сикорского приглашали на руководящие должности в саратовскую, тамбовскую психиатрические лечебницы, а в 1884 году поступило предложение занять московскую кафедру. Но Сикорский, узнав что в Киевском университете решено организовать кафедру по душевным и нервным болезням, принял решение вернуться в альма-матер, и в 1885 году получил назначение профессором в университет, проработал в котором 26 лет.
Научные труды Сикорского первоначально относились к разным вопросам патологической анатомии, а впоследствии к клинической психиатрии и педагогике. Они рассеяны в специальных журналах, русских и иностранных. Кроме того, он написал весьма ценную монографию «О заикании» (Санкт-Петербург, 1889), переведенную также на немецкий язык. Всего учёный написал более ста научных трудов в разных областях медицины, биологии и педагогики.
Сикорский был членом Общества русских врачей, почётным членом Киевской Духовной Академии, председателем Киевского психиатрического общества, членом ряда иностранных научных обществ. Учёный был удостоен премии Юшенова от Военно-медицинской академии (1907), получил почётный отзыв от Конгресса по воспитанию в Льеже.
Одними из первых научных работ, посвящённых изучению детей с отклонениями, были исследования выдающегося отечественного учёного И. А. Сикорского, который в своих трудах « … развивал идеи К. Д. Ушинского о принципах построения педагогики как науки, подчёркивая, что подлинной основой для научной теории воспитания является комплексное изучение ребёнка».
В 1882 году И. А. Сикорский сделал доклад в Женеве на конгрессе врачей гигиенистов «О детях трудных в воспитательном отношении». В докладе автор анализирует учеников Военно-учебных заведений, отстающих в обучении. Он указывает на разные причины отставания от нормально развивающихся сверстников, среди которых: нарушение в умственном развитии, связанное с поражением ЦНС, а также умственные и нравственные нарушения, связанные с хроническим утомлением умственной работой. В докладе указывается на необходимость дальнейших исследований в этом направлении. В этом же году выходит его работа «О лечении и воспитании недоразвитых, отсталых и слабоумных детей». В ней автор приводит кратко историю изучения, воспитания и обучения слабоумных детей за границей, показывает, каких успехов в этом направлении добились зарубежные учёные. Наряду с необходимостью глубокого изучения умственного недоразвития у детей, учёный указывает на необходимость изучения и обучения детей с преобладанием эмоционально-волевых нарушений. Среди особенностей таких детей автор называет «… аномалии чувств и характера, отсутствие гармонии душевных сил…» Он характеризует их как детей с нравственным недоразвитием. «Изучение нравственного недоразвития и его исправление становится важнейшей новой практической задачей…» . Исследователь говорит о необходимости создания для них специализированных заведений. В 1889 году выходит фундаментальный труд И. А. Сикорского «О заикании». На примере этой работы хорошо видно, какое большое значение автор придавал глубокому медико-психолого-педагогическому изучению человека с отклонениями в развитии и каких достижений добился в ходе этого изучения. В своей работе он всесторонне осветил проблему заикания. В ней он на основании собственных наблюдений описал симптоматику, причины возникновения и особенности течения заикания. В работе детально анализируются физиологические и психологические особенности заикающихся. На основе этого анализа предлагается комплексный медико-педагогический метод преодоления заикания.
Исследования И. А. Сикорского являются одной из первых попыток антропологического обоснования воспитания и обучения детей с отклонениями в развитии в отечественной науке.
С 1896 года Сикорский состоял редактором основанного им, издаваемого в Киеве журнала «Вопросы нервно-психической медицины». В 1904 году учёный основал Врачебно-Педагогический Институт для умственно-недоразвитых, отсталых и нервных детей, и до своей смерти возглавлял научную и лечебную работу в этом уникальном для своего времени заведении. В 1912 году основал Институт детской психопатологии.
В 1913 году И. А. Сикорский выступал экспертом и свидетелем от обвинения по делу Бейлиса, защищая уголовников- националистов, планировавших ограбление православной святыни - Софийского собора - и ликвидировавших несовершеннолетних свидетелей , поддержав и развив версию обвинения о еврейском ритуальном убийстве свидетелей и фактически обвиняя в подобных убийствах и подстрекательстве к ним Иисуса Христа, апостолов, первых христиан, РПЦ и друживших с Бейлисом православных членов Союза русского народа и православного священника. Он доказывал, что некоторые евреи, Бейлис, в частности, подобно Иисусу Христу, могут совершать ритуальные убийства в состоянии аффекта, искусно заметать следы, превращая кровь в вино или в воду, а плоть - в хлеб, внушая свидетелям противоречивые и абсурдные показания, так что единственным доказательством совершаемых ими ритуальных убийств является только психиатрическая экспертиза Христа, а затем забывают о совершённых преступлениях и поэтому искренне считают себя и воспринимаются окружающими как очень хорошие люди. При этом Иуда Искариот якобы совершил подвиг, сообщив якобы о каннибализме евреев-сектантов - Христа и апостолов, и поэтому русский человек, подобно Иуде Искариоту, должен доносить в полицию обо всём, что делают евреи, и поддерживать обвинения полиции, будучи присяжным, так как среди евреев могут быть люди, подобные Христу и апостолам. . Любопытно, что до создания своего коммунистического учения Карл Маркс тоже ссылался на Даумера в обличении христианства, но прекратил, в отличие от Сикорского, после того, как стал коммунистом, так как, по объяснению П. А. Кропоткина, развиваемое коммунистами учение шотландского теолога Адама Смита о гегемонии рабочего класса могло возникнуть только там, где верят в гегемонию плотника Иисуса. Сикорский непрерывно ссылался на Ренана, настаивавшего на необходимости совместных действий немцев и французов против общего врага цивилизации — славян, особенно русских. На основании этой экспертизы Сикорского присяжные должны были признать русских евреями и врагами цивилизации, Бейлиса - воплощением Христа, а виновными в ритуальных убийствах - не только Бейлиса, но и Христа, апостолов и любую кафолическую (православную) или католическую Церковь Христову, что, естественно, было невозможно. Так, католический священник Пранайтис из Ташкента, выступивший как свидетель обвинения ввиду невозможности найти в России ни одного православного священника, согласного поддержать такие обвинения, утверждал, что и все буллы римских пап, осуждающие подобную экспертизу, являются фальсификацией евреев, и послу России при Ватикане полиция предписала задержать присылку копий этих осуждающих экспертизу Сикорского булл. Кроме того, до экспертизы Сикорского Россия неоднократно уличала руководителей мусульманских государств и общин, обвинявших евреев в ритуальных убийствах представителей христианских меньшинств, в попытке замаскировать акты антихристианского террора местных радикальных исламистов, создавала для защиты христиан препятствовавшие развязыванию мировой войны широкие блоки христианских государств, а после этой экспертизы лишилась и наиболее действенного инструмента защиты христиан, и эффективного средства поддержания мира. Кроме того, во многих странах Востока не различают русских и евреев. Понятно, что поэтому экспертиза Сикорского, по-видимому, связанная с ролью инфекционных факторов в патогенезе некоторых психических заболеваний и возможностью его инфицирования при профессиональных контактах с больными, вызвала негодование не только присяжных и демократической общественности, но и РПЦ, христианских общин на Востоке и подавляющего большинства других русских националистов, впоследствии привела к ликвидации поддерживавшей такую экспертизу и "крышевавшей" и местных святотатцев и садистов, и радикальных антихиристианских террористов по всему миру "российской полиции", созданию "милиции", но до сих пор используется для обоснования безнаказанности осквернения и разграбления христианских храмов и убийств христианских священников и христиан во всём мире. При этом Сикорский значительную часть своей экспертизы посвятил описанию «ритуальных убийств» по соответствующей литературе, включая известное "исследование тайного советника Скрипицына", опубликованное в газете "Гражданин (журнал)" в 1878 году, переизданное в 1913 под именем В. И. Даля и в наше время совершенно ошибочно, даже прокуратурой России, приписываемое В. И. Далю, чем вызвал протест защиты, заявившей, что он далеко выходит за рамки своей компетенции как эксперта-психиатра. С одной стороны, в отличие от современных российских прокуроров, Сикорский никогда не приписывал эти изуверские рассказы Далю и заявлял, что ни в коем случае не обвиняет весь еврейский народ: «Что касается еврейских трудовых масс, то они стоят от этого далеко, считают это злом в самом еврействе. Так что нельзя сказать, что еврейство виноваты в этих преступлениях, виновата преступная часть его, секта». С другой стороны, он заявлял: «Еврейство принадлежит к той нации, которая имеет способность к осведомительному и сыскному ремеслу. Такая раса более, чем другая, способна разыскать, найти убийц, раскрыть убийства. Но то противодействие этому, которое мы видим со стороны евреев, невольно наводит на сомнение. (…) Можно с уверенностью сказать, что эти убийства не прекратятся, пока не прекратятся противосудебные агитации со стороны расы, расы, которая питает в своей среде изуверов и в то же самое время со своей стороны не может принять меры к освобождению нас от них». При этом, поскольку евреев он рассматривал не как этническую общность, а как расу, то в еврействе он обвинял всех, кто выступал против его экспертиз. В первой своей экспертизе (1912 г.) Сикорский, со ссылкой на французского историка-слависта А.Леруа-Больё, назвал предполагаемые ритуальные убийства «расовым мщением, или вендеттой сынов Иакова» к субъектам другой расы". Ссылка была ложной; Леруа-Больё, узнав об этом, печатно протестовал, и из окончательного текста экспертизы этот пассаж был удален. Присутствовавший на суде писатель В. Г. Короленко так оценил выступление Сикорского: «профессор Сикорский вместо психиатрической экспертизы стал читать по тетради собрание изуверных рассказов, ничего общего с наукой не имеющих». Чиновник департамента полиции Дьяченко телеграфировал в Петербург, что «простой народ, читая экспертизу Сикорского, высказывает большую ненависть к евреям, угрожая погромом».
Экспертиза Сикорского вызвала возмущение российского и мирового психиатрического сообщества. По словам В. П. Сербского, «в экспертизе проф. Сикорского наука с её первым и необходимым условием — добросовестностью — и не ночевала. Говоря словами самого Сикорского, его экспертиза „представляется мне не случайным или простым“ заблуждением, но „сложным квалифицированным злодеянием, которое тщательно обдумано и планомерно исполнено“» . Журнал «Современная психиатрия» оценил экспертизу как «позорную и не соответствующую самым элементарным научным требованиям», «Журнал невропатологии и психиатрии» — утверждал, что «маститый русский учёный скомпрометировал русскую науку и покрыл стыдом свою седую голову». Общество психиатров особой резолюцией признало экспертизу Сикорского «псевдонаучной, не соответствующей объективным данным вскрытия тела Ющинского и не согласующейся с нормами устава уголовного судопроизводства» Весною 1913 г. XII всероссийский пироговский съезд врачей принял специальную резолюцию против экспертизы Сикорского. Осенью 1913 г. экспертиза Сикорского была осуждена международным медицинским съездом в Лондоне и 86-ым съездом немецких естествоиспытателей и врачей в Вене.
Сикорский апеллировал к полиции, требуя пресечь критику. За критику экспертизы Сикорского были закрыты целый ряд медицинских обществ (Харьковское, Тверское, Вологодское и др.). Московский «Журнал невропатологии и психиатрии» писал в связи с этим, что «говорить об экспертизе Сикорского, критиковать её стало почти государственным преступлением».
В разные годы он состоял директором Киевского попечительного комитета по тюрьмам, председателем Юго-Западного общества трезвости, членом правления Киевского общества борьбы с детской смертностью, председателем Киевского общества покровительства лицам, отбывшим наказание и беспризорным детям, председателем Фрёбелевского общества для содействия делу воспитания, членом правления Общества скорой медицинской помощи в Киеве, председателем Общества вспомоществования студентам при Университете св. Владимира, консультантом при больнице имени С. А. Лихаревой.
Сикорский придерживался монархических убеждений, принимал участие в деятельности Киевского клуба русских националистов. Иван Алексеевич считается одним из крупнейших идеологов русского национализма, он активно проповедовал расизм и антисемитизм, занимался психологическими основами русского национализма и патриотизма, отрицая его связь с православием. «Народный дух, — писал Сикорский, — это величайшее биологическое богатство, созданное веками биологической и исторической жизни, глубокие пружины которой скрыты от современного взора» (С. 10. О психологических основах национализма. Киев. 1910). По мнению исследовательницы Марины Могильнер «в отличие от большинства русских антропологов рубежа веков, Сикорский интересовался не просто изучением и описанием „расового состава“ империи и эволюцией человечества как вида, но объективизацией неравенства народов, то есть основаниями расовой иерархии (…) „его“ империя состояла из русской нации, на основе которой будет продолжаться развитие государства, и нерусского населения — объекта ассимиляции».
И.Сикорский был членом Русского Антропологического общества при Санкт-Петербургском университете и, вместе с другими киевскими профессорами, пытался основать такое же общество в Киеве. В своих антропологических работах, согласно Марине Могильнер, он относил русских к ариям, считая их представителями высшей расы .
Иван Алексеевич за свою жизнь собрал огромную библиотеку научной, художественной, справочной и другой литературы, которая по завещанию была передана в дар Киевскому университету. При жизни им был опубликован каталог этой библиотеки, состоявшей преимущественно из иностранной литературы, для облегчения доступа к ней студентам.
В последние годы жизни Иван Алексеевич страдал от продолжительной болезни, был прикован к постели. Умер И. А. Сикорский в 1919 году, в это время Киев находился в пылу бурно развивающейся гражданской войны, власть над городом неоднократно переходила из рук в руки, и на момент смерти учёного находилась у сторонников Симона Петлюры, провозгласивших Украинскую Народную Республику. Существует версия, по которой Сикорский умер после ареста его чекистами. Документальных подтверждений этой версии не найдено. Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.