Родился 20 января 1910 года в селе Алексеевка Хобдинского района Актюбинской области в семье крестьянина. Украинец.
Один из организаторов колхоза имени Чапаева в поселке Новоодесском Акбулакского района. С 1929 года — бригадир полеводческой бригады. В 1937 году он был направлен на работу в потребкооперацию. Руководил сельпо, заготовительной конторой.
Когда началась Великая Отечественная война, добровольно ушел на фронт, сражался против немецко-фашистских захватчиков на Северо-Западном и Ленинградском фронтах. Был разведчиком, дважды ранен.
После победы возвратился в Акбулак инвалидом первой группы. Был избран председателем Акбулакского поселкового Совета, а в 1952 году — председателем колхоза имени Мичурина.
В 1957 году группа передовиков сельского хозяйства была награждена орденами и медалями, а наиболее выдающимся присвоено звание Героя Социалистического Труда. В том числе и Ивану Алексеевичу Бурме.
В 1966 году И. А. Бурма перешел работать директором районного пищекомбината, где трудился до ухода на заслуженный отдых.
Умер 2 апреля 2002 года.
Снимался в документальном фильме «Награждение Чкаловской области», 1957. Студия ЦСДФ (РЦСДФ).