Родился в селе Хони Кутаисской губернии. Начал печататься в 1928 году. В 1931 году закончил филологический факультет Тбилисского университета и через три года уже участвовал в Первом съезде Союза писателей СССР. Во время Великой Отечественной войны пошёл на фронт. Позднее был главным редактором журнала «Мнатоби».
В разное время был председателем Союза писателей Грузии. В 1970 году стал также вице-президентом Академии наук Грузинской ССР. В 1960 году организовал экспедицию в грузинский монастырь Святого Креста в Иерусалиме, во время которой была обнаружена фреска Шоты Руставели.
В 1960 году ему было присвоено звание академика Академии наук Грузии. Являлся основателем и главным редактором Грузинской советской энциклопедии (тома 1—12, 1975—1987), первым председателем общества Руставели Грузии (1980). В 1979 году ему было присвоено звание Герой Социалистического Труда.
Поэзия Абашидзе основана на патриотических ценностях грузинской культуры. Хотя Абашидзе был довольно лояльным к советскому строю, он поддержал Звиада Гамсахурдия на пути к независимости Грузии. Умер Абашидзе 14 января 1992 года в Тбилиси и был удостоен государственных похорон.
Автор поэтических циклов «Палестина, Палестина» (1963, Государственная премия Грузии, 1966), «По следам Руставели» (премия имени Дж. Неру, 1972); сборника лирических стихов «Приближение» (1966), книги воспоминаний "Колокол из тридцатых годов". Переводил на грузинский язык стихи русских поэтов. На русский стихи Абашидзе переводили Б. Л. Пастернак, А. А. Тарковский, Б. А. Ахмадулина, Е. А. Евтушенко, [Межиров, Александр Петрович|А. П. Межиров]]