Известен по выступлениям за Пахтакор и Днепр (Дн).
Окончил Узбекский Государственный институт физической культуры.
В начале 1992 оказался в Спартаке (Владикавказ), за который выступал до лета того же года.
Со 2-й половины 1992 начал активные поиски клуба за рубежом. Сначала отправился в Австрию, в клуб «Форвертс», где его не устроили условия контракта (агентом выступал Евгений Милевский). Затем был на просмотре в «Локерене», но здесь он не подошёл команде. Спустя пару дней оказался в Голландии и сыграл контрольную встречу за «Маккаби» (Тель-Авив). Главный тренер Авраам Грант высоко оценил способности Игоря, но в команду взять не смог из-за возможного перебора легионеров. Однако Грант сам порекомендовал Шквырина в другой тель-авивский клуб — «Хапоэль», за который Игорь стал выступать с осени 1992.
1-й сезон в Израиле складывался неоднозначно: у Шквырина были разногласия с тренером. Однако со 2-го круга тренера уволили, а Шквырин забил 13 мячей (всего 15 чемпионате).
Отыграв начало нового сезона в «Хапоэле», Шквырин перешёл в другую команду — Маккаби (Нетания). Игорь признавался, что сезон 1993/94 стал самым удачным в его зарубежной карьере: играл в свое удовольствие, забивал и ни о чём не думал.
В 1995, после сверхудачного выступления сборной Узбекистана на Азиатских играх, футболиста пригласили в Малайзию. С «Маккаби» продолжал действовать контракт, но отпустили без проблем. В «Паханге» сезон получился удачный: Шквырин снова забивал, стал чемпионом страны, играл в финале Кубка.
По возвращении в Израиль выступал за ряд местных команд (в каждой — не более сезона): Бней Иегуда, Маккаби (Петах-Тиква), Маккаби (Герцлия), Маккаби (Яффа).
В 1998 вернулся в Узбекистан, обратно в Пахтакор.
В 2002 перешёл на тренерскую работу. Работал помощником главного тренера команды «Крылья Советов» А.Тарханова (2003—2004). С 2005 — главный тренер команды высшей лиги чемпионата Узбекистана «Кызылкум» Зарафшан. В 2007, оставаясь главным тренером «Кызылкума», стал помощником главного тренера олимпийской сборной Узбекистана по футболу Вадима Абрамова. С 2008 по 2010 работал ассистентом главного тренера национальной сборной Узбекистана по футболу, помогая сначала Рауфу Инилееву, затем Мирджалолу Касымову.
С 2008 — главный тренер АГМК (Алмалык).
Женат, растит 2-х сыновей.