Семья: отец Хосе Андрес, мать Силва Моника, брат, Хуан Андрес, сестра Габриэла.
В детстве играл в баскетбол и футбол, но в 12 лет сосредоточил свои усилия на теннисе.
Любимое покрытие — Грунт.
Маленького Хосе в теннис привели уже в возрасте двух лет, когда он начал играть в теннисном клубе своего дедушки. В мировом туре ATP с 1999 года. Первый финал турнира ATP играет в 2001 году в родной для себя Аргентине. В финале турнира в Буэнос-Айресе проигрывает бразильцу Густаво Куэртену 1-6, 3-6. В этом же году дебютирует на турнирах Большого шлема. Первая победа ждет Акасусо в 2002 году в польском Сопоте. В финале он переигрывает своего соотечественника Франко Скильяри 2-6, 6-1, 6-3. Также в этом году доходит до финала еще на двух турнирах. В Бухаресте Хосе проиграл Давиду Ферреру 3-6, 2-6, а в Палермо чилийцу Фернандо Гонсалесу 7-5, 3-6, 1-6. Год он завершает на 41-ом месте.
Следующий финал турнира ATP произойдет в 2004 году. Вновь Акасусо удается выйти дойти до этой стадии на турнире в Сопоте. На этот раз его ждет поражение от испанца Рафаэля Надаля 3-6,4-6. Менее чем через месяц он выигрывает второй свой титул в карьере на турнире в Бухаресте, обыграв в финале россиянина Игоря Андреева 6-3, 6-0. В этом же году Хосе удается выиграть первый титул в парном разряде. Вместе со своим партнером бразильцем Флавио Сареттой он побеждает в хорватском Умаге. В следующем году вместе с земляком Себастьяном Прието Хосе выигрывает в Штутгарте и Бухаресте. Следующий титул в одиночном разряде Акасусо выигрывает в 2006 году. В чилийском Винья-дель-Маре он переигрывает местного теннисиста Николаса Массу 6-4, 6-3. В этом же году он доходит до финала на турнире в Штутгарте, где проигрывает Давиду Ферреру.
В 2007 году третий раз в карьере выходит в финал турнира в Сопоте и второй раз проигрывает в нем на этот раз Томми Робредо 5-7, 0-6. В 2008 году финал в Буэнос-Айресе против Давида Налбандяна заканчивается неудачей 6-3 6-7 4-6. В 2009 году доходит до финала турнира Винья-дель-Маре, где проигрывает чилийцу Фернандо Гонсалесу 1-6, 3-6.