Художественное образование получил сначала в Тифлисе в Рисовальной школе при Кавказском художественном обществе (1876—1878), а затем в Академии художеств в Петербурге, где в 1879—1883 годах учился у Михаила Константиновича Клодта. Окончил Академию с серебряной медалью (присуждена за картину «Берёзовая роща»), что дало ему право на получение стипендии для путешествия по Европе.
В 1883 году путешествовал в Армению, в 1884 — в Италию и Швейцарию. Затем до конца жизни жил в Тифлисе, выезжая оттуда в различные области Закавказья. Организовал выставки в Петебурге, Москве, Париже (где жил в 1899—1901 годах).
Умер в Тифлисе в 1925 году.
Помимо живописи, Геворк Башинджагян увлекался литературой. В частности, в течение тридцати лет он собирал песни Саят-Новы.
Создал более 1000 картин. Работам раннего периода характерна тончайшее воспроизведение природы, применение некоторых элементов академической живописи («Арарат» (1883), «Дом Х. Абовяна в Канакере» (1884), «Березовая роща» (1888), «Оттепель на Кавказе» (1890).
1890-е годы — время расцвета творчества художника. Картины «Озеро Севан в лунную ночь» (1894), «Арарат» (1895), «Казбек» (1895), «Дорога в Дилиджан» (1895), «Севан» (1896), «Река Раздан с Еревана» (1897), «Дождливый день в Севане» (1896) и другие отличаются большим воодушевлением, эмоциональным восприятием природы, мастерством светотени и цвета. Мастерством художественного обобщения и убедительности Башинджагян воспроизвел ясность и прозрачность тихих вод («В Севане» (1895)), просторы синего неба и яркого солнца («Алазанская долина» (1907), «Арарат и Аракс» (1908), «В горах Зангезура» (1904)), величие возвышенных гор и глубоких ущелий («Ущелье Санаина», «Дарьяльское ущелье» 1910, «Арарат» 1912)), подчеркивая эпичность и монументальность природы.
В творчестве художника явно преобладает эпический пейзаж. На Башинджагяна большое влияние оказало творчество Архипа Куинджи, и в этом смысле он представляет линию эпического пейзажа, идущую в русском искусстве от Айвазовского. Хотя он большую часть жизни прожил в Тифлисе, большинство сюжетов его картин связано с Арменией. Армянские художники, в частности, Мартирос Сарьян, считали Башинджагяна своим предшественником, и он рассматривается как основоположник реалистического пейзажа в армянской живописи.
Башинджагян придерживался также тех же взглядов на технику, что и Куинджи. Он писал этюды на открытом воздухе, а затем в мастерской работал над картинами.
В ранний период творчества, примерно до 1890 года, художник уделял особое внимание первому плану пейзажа, тщательно прорабатывая все детали. Впоследствии он либо вовсе пренебрегает передним планом, либо пишет весь пейзаж с одинаковой тщательностью. Все его пейзажи отличаются простотой композиции и обязательно включают небо. Следуя Куинджи, он писал много ночных пейзажей.
Более 1000 картин, большинство из них посвящены отечественной тематике:
Камни на реке Алгетке
Березовая роща, 1883
Заснеженный лес, 1917
Казбек, 1895
В Армении и СССР были выпущены почтовые марки, посвященные Башинджагяну:
Почтовая марка Армении
Почтовая марка СССР, 1957 год