Окончил Московский университет в 1941 году. С началом Великой Отечественной войны он ушёл на фронт добровольцем, хотя и имел бронь, которая освобождала его от призыва как специалиста, нужного оборонной промышленности. До конца войны служил на Дальнем Востоке зенитчиком. Демобилизовался в 1945 году.
В 1945 году пришёл работать в Институте атомной энергии АН СССР (тогда Лаборатория № 2 АН СССР). Первой задачей стал анализ динамики частиц в циклотроне. Далее занимался теорией управления уран-графитовыми атомными реакторами. В 1950 году защищает кандидатскую диссертацию на тему «Последние орбиты ионов в резонансных ускорителях». По-настоящему таланты Будкера начали раскрываться с началом работ по управляемым термоядерным реакциям. В 1952 году Будкер предлагает две идеи: магнитных пробок для удержания плазмы; и релятивистский стабилизированный электронный пучок для ускорения тяжёлых частиц.
В 1954 году для проверки идей по физике ускорителей создаётся Лаборатория новых методов ускорения. В 1956 году Будкер защищает докторскую диссертацию, в 1958 его избирают член-корреспондентом, а в 1964 году действительным членом АН СССР.
С 1957 года, при поддержке Курчатова, Будкер принимается за создание Института ядерной физики Сибирского отделения АН СССР, и в 1958 году его лаборатория преобразуется в отдельный институт.
С начала 1960-х годов Будкер активно занимается реализацией метода встречных пучков, в 1964 году захвачен первый пучок в накопитель ВЭП-1, а в 1967 году коллектив во главе с Будкером получает Ленинскую премию за эксперименты на встречных пучках. В дальнейшем в институте для экспериментов по физике элементарных частиц строятся коллайдеры ВЭПП-2, ВЭПП-2М, ВЭПП-4.
В 1965 году Будкер впервые предлагает концепцию электронного охлаждения пучков протонов и ионов — метод применяемый сейчас во многих лабораториях, работающих с тяжёлыми ионами.
В последние годы жизни Будкер активно продвигал идею линейного коллайдера на энергию несколько сотен ГэВ.