Окончил Московское училище живописи, ваяния и зодчества (1914).
В начале XX века Г. Д. Алексеев подготовил в виде книги-альбома одно из самых известных и оригинальных пособий по геометрии для детей, изданное выдающимся русским просветителем И. Д. Сытиным (было переиздано в 2002).
В 1907г. выполнил портрет К. Маркса (гипс, собрание Д. Г. Алексеева, Москва). В 1918г. сделал ряд натурных зарисовок В. И. Ленина в его кабинете. Участвовал в осуществлении ленинского плана монументальной пропаганды (Рельеф "Союз рабочих и крестьян" на фасаде Центрального музея В. И. Ленина в Москве, 1918 г. Памятник К. Марксу в Балашихе, 1919г. - оба из бетона). Автор одного из первых бюстов В. И. Ленина (1919), установленного в ряде советских городов, и первой статуи В. И. Ленина "Призывающий вождь" (гипс, 1924, Центральный музей В. И. Ленина). Эмблемы Осоавиахима (1926 -27гг.), плаката "Ультиматум" (1923).
Жил в Салтыковке с 1911 по 1951 годы на улице Малая Прудовая, у Золотого пруда (улица Скульптора Алексеева, дом 35).
В апреле 1969 года в Москве в зале Союза художников СССР состоялось открытие первой посмертной персональной выставки Г. Д. Алексеева. Был издан выставочный каталог с биографическом очерком, а также опубликованы воспоминания Георгия Дмитриевича о посещении им В. И. Ленина в Кремле в 1918 году. Побывавшие на выставке салтыковские краеведы обратили внимание на картину, выполненную Г. Д. Алексеевым в 1915 году, с изображением бревенчатого дома, где жил и работал художник. Они выразили пожелание, чтобы Малая Прудовая улица, где находится этот дом, была названа улицей Г. Д. Алексеева.
В 1969 году Балашихинский горком КПСС и горисполком приняли решение открыть музей Г. Д. Алексеева в Салтыковке. На стене деревянного дома была укреплена мемориальная доска с надписью: «В этом доме с 1911 по 1951 г. жил и работал известный советский скульптор и живописец Г. Д. Алексеев». Также было вынесено решение горисполкома о переименовании улиц Малая Прудовая и Сокольническая в улицу имени Г. Д. Алексеева (улицу Скульптора Алексеева). Но в итоге запланированный Музей так и не был создан, а дом оказался продан по частям разным владельцам. В 1993 году улица Сокольническая, как было сказано в формулировке, «возвратила своё исторически сложившееся название». Архив Г. Д. Алексеева был передан потомками художника в историко-краеведческий музей города Балашиха.
В Балашихинском историко-краеведческом музее (проспект Ленина, д. 53), где в настоящее время хранится весь личный архив Г. Д. Алексеева, оформлены специальные стенды с уникальными рукописными, печатными и фотографическими материалами.
Мемориальный дом в Салтыковке Постановлением Правительства Московской области от 15.03.2002 г. № 84/9 включён в Перечень памятников истории и культуры.
10 июня 2003 года дачный посёлок Салтыковка в качестве микрорайона вошёл в состав города Балашиха.