Генрих Иоганн Иммануил Аншюц родился 8 февраля 1785 года в небольшом городке Луккау в земле Бранденбург в Германии в семье директора местного детского дома.
По окончании гимназии Генрих Аншюц решает продолжить образование и, с этой целью, переехал в саксонский город Лейпциг, где в 1804 году поступил на юридический факультет местного университета, где изучал уголовное и гражданское право.
В конце концов любовь к театру пересилила желание заниматься юриспруденцией и, в 1807 году, в возрасте 22-х лет Генрих Аншюц дебютировал как театральный актёр в небольшом театре города Нюрнберга в роли Адольфа фон Клингберга в постановке «Die beiden Klingsberg» по произведению Августа фон Коцебу.
В 1811 году Аншюц был приглашен выступать на сцене театра города Кёнигсберга в Восточной Пруссии; позднее, в 1822 году, ему представилась возможность выступить на сцене «Hofburgtheater» в столице Австрии городе Вене.
Генрих Аншюц специализировался на характерных и героических ролях, исполнять которые ему, по мнению современников, очень помогал его декламаторский талант и прекрасный, хорошо поставленный голос.
Генрих Иоганн Иммануил Аншюц скончался в городе Вене 29 декабря 1865 года в возрасте восьмидесяти лет.
Судьба четырёх его детей и обеих жён была напрямую связана с театром.
— Брат Генриха А., автор нескольких повестей, также подвизался с успехом в 1831 г. на сцене главного венского театра; оставил сцену в 1851 г. и † в апреле 1855 г.