Генна Сосонко научился играть в шахматы примерно в десятилетнем возрасте от своей матери, когда они жили в Ленинграде. Затем он занимался шахматами во Дворце пионеров. Первыми своими учителями он называет Владимира Григорьевича Зака, Владимира Григорьевича Кириллова, Василия Михайловича Бывшева и Александра Васильевича Черепкова. В свой последний школьный год, он занимался в шахматном клубе имени Чигорина с Семеном Абрамовичем Фурманом.
В Советском Союзе Сосонко стал мастером спорта. Сосонко был секундантом Михаила Таля и Виктора Корчного. В 1972 году Генна Сосонко эмигрировал из Советского Союза в Нидерланды.
В 1974 году он стал международным мастером, а в 1976 году — международным гроссмейстером.
Геннадий Сосонко — двукратный чемпион Нидерландов по шахматам (1973 и 1978 годов). С 1975-го по 82-й год Сосонко играл в самых сильных турнирах и входил в двадцатку сильнейших шахматистов мира.
Сосонко — двукратный победитель турнира в Вейк-ан-Зее (1977 и 1981 годах), победитель турниров в Барселоне, Лугано (1976), Неймегене (1978), Полянице-Здруй (1993). Призёр турниров в Тилбурге, Нью-Йорке, Бат-Лаутерберге, Сан-Пауло, Лондоне, Рейкьявике. Дважды играл в межзональных турнирах на первенство мира. В 1975 году Генна Сосонко выиграл матч (1,5:0,5) у экс-чемпиона мира Макса Эйве.
С 1974 года играл за команду Нидерландов на шахматных олимпиадах и чемпионатах Европы. Сосонко играл на одиннадцати шахматных олимпиадах, где сыграл 96 партий (+28-4=64). С 1995 года — капитан сборной Нидерландов по шахматам.
Наивысшего рейтинга Сосонко достиг в январе 1981 года — 2595. С 2004 года Сосонко не играет в турнирах.
Сосонко часто работает комментатором на различных международных турнирах. Сосонко — автор многих эссе-воспоминаний, которые опубликованы на английском, нидерландском, чешском, польском и русском языках. Многие его эссе-воспоминания вошли в книгу «Я знал Капабланку» (ISBN 5-93356-012-Х). Позже он также выпустил книгу «Мои показания» (ISBN 5-7905-2212-2).
Вот как сам Генна Сосонко объясняет необычное написание своего имени: «Когда я оказался в Голландии, все называли меня моим кратким именем, но произносимое по-голландски оно звучало, образуя открытый слог, — „Хейна“ — в голландском языке вообще есть склонность к горловым, хриплым звукам. Пару лет я носил это имя, пока не решил для твёрдости и правильности произношения добавить в него ещё одно „н“, тем более что с одним ли, с двумя ли „н“ было крайне маловероятно, что имя это когда-нибудь вообще будет напечатано по-русски в те славные времена Советского Союза. Получилось по-другому. Но менять что-либо сейчас уже поздно, тем более что Генна, живущий в Амстердаме, только очень отдалённо напоминает Гену, уехавшего более трёх десятков лет тому назад из Советского Союза».