Ганс Аспергер родился на ферме под Веной, был старшим из трёх братьев (средний умер вскоре после рождения, младший погиб под Сталинградом). Рос замкнутым ребёнком, в раннем возрасте проявил талант к языкам. В 1920-е годы участвовал в молодёжных движениях. После окончания гимназии изучал медицину в Вене. Защитил докторскую диссертацию в 1931 г. и устроился ассистентом в детскую клинику Венского университета, где с 1932 г. руководил лечебно-педагогическим отделением. Одной из его пациенток была будущая писательница Эльфрида Елинек.
В 1934 г. переехал в Лейпциг, где стал работать в психиатрической больнице. Женился в 1935 г. на Ханне Кальмон, которая родила ему пятерых детей.
Точно неизвестно, чем занимался Аспергер в начале Второй мировой войны. В дальнейшем он служил военным врачом в Хорватии. В 1944 г. Аспергер опубликовал первое описание позже названного в его честь синдрома, который он называл «аутистической психопатией». В том же году получил постоянное место в Венском университете, где в течение двадцати лет занимал кафедру педиатрии, а в 1946 г. стал директором венской детской клиники. Также работал в Инсбруке, а, начиная с 1964 г., возглавлял так называемую Детскую деревню SOS-Kinderdorf в Хинтербрюле. Аспергер не прекращал работы до конца и за шесть дней до смерти ещё читал лекции.
Всего за свою жизнь опубликовал более 300 работ, главными темами которых были «аутистическая психопатия» и смерть. Поскольку его публикации выходили на немецком языке и мало переводились, вначале его работы не пользовались большой известностью. Лишь в 1990-е годы синдром Аспергера стал известен широкому кругу специалистов.