Франц Бургмаер родился в маленьком лихтенштейнском городке Тризене в семье Хайнца и Элсбет Бургмаеров. Воспитанник футбольного клуба «Тризен». В юности, помимо футбола, серьёзно занимался ещё и лыжным спортом. Старший брат Франца Патрик Бургмаер также является футболистом и выступает на позиции защитника за лихтенштейнский «Эшен/Маурен». Холост, подруга Моника.
Профессиональную карьеру Бургмаер начал в «Вадуце», за который играл в течение пяти лет с 2000 по 2005. Первый гол на высшем уровне забил в ворота швейцарского «Туна 1898» 31 июля 2001 года. В розыгрыше Кубка УЕФА 2002/03 на «Райнпарке» 15 августа 2002 года Бургмаер забил свой первый европейский гол в ворота шотландского «Ливингстона» (матч завершился со счётом 1:1), что однако не спасло «Вадуц» от поражения по итогам двух матчей (на выезде лихтенштейнцы сыграли вничью 0:0 и вследствие пропущенного на своём поле гола не прошли в следующий раунд). 29 июля 2004 года в гостевом матче первого отборочного раунда Кубка УЕФА 2004/05 против ирландского «Лонгфорд Тауна» Бурги забил свой второй мяч в еврокубках и помог «Вадуцу» одержать победу 3:2 (4:2 по сумме двух матчей) и выйти во второй раунд.
Дважды (2004, 2005) имел шанс выйти с «Вадуцем» в швейцарскую Суперлигу, но оба раза клуб уступал в очном противостоянии «Ксамаксу» и «Шаффхаузену» соответственно. В период выступления за «Вадуц» пять раз становился победителем Кубка Лихтенштейна.
За «Аарау» Бурги провёл 35 матчей, в которых забил один гол. Также ему удалось поразить ворота соперников в первых двух раундах Кубка Швейцарии. «Аарау» занял седьмое место в Суперлиге, а Бургмаер был признан Лучшим футболистом 2006 года в Лихтенштейне.
В межсезонье 2006 Бургмаер выиграл с «Базелем» «Кубок часов». 20 августа 2006 в гостевом поединке против «Сьона» забил первый мяч за «Базель», что не спасло его команду от поражения 2:4. В 2007 году выиграл вместе с «Базелем» Кубок Швейцарии. В сезоне 2007/08 провёл за «Базель» лишь четыре матча в Суперлиге и был отдан в полугодовую аренду в «Тун».
За «Тун» Бургмаер провёл 17 матчей и дошёл до полуфинала Кубка Швейцарии. По итогам чемпионата клуб вылетел в Челлендж-Лигу.
10 сентября 2003 года в Большом Манчестере на стадионе «Олд Траффорд» состоялся отборочный матч Евро-2004 между сборными Англии и Лихтенштейна. В числе 67 тысяч собравшихся на стадионе болельщиков был и семилетний мальчик Макс Хьюстон. Несмотря на то, что Лихтенштейн в этом матче потерпел поражение 0:2, Макс был поражён выносливостью и работой Франца Бургмаера. Когда летом 2008 года Бурги разорвал контракт с «Базелем», двенадцатилетний на тот момент Макс Хьюстон предложил посмотреть Бургмаера в деле своему дедушке Джорджу Хьюстону — председателю команды «Дарлингтон». Успешно выдержав просмотр, Франц, твёрдо нацелившийся попробовать свои силы за границей, подписал однолетний контракт с «Дарлингтоном».
13 сентября 2008 года Франц Бургмаер забил свой первый мяч в Англии в ворота «Порт Вейла». Бурги стал обладателем своеобразного клубного рекорда, в течение двух месяцев получив четыре вызова в свою сборную — небывалый доселе случай для «Дарлингтона». Из-за внутренних проблем в административном штабе клуба Бургмаер вынужден был покинуть «Дарлингтон» в конце сезона, остановившись на отметке в 2 забитых мяча за 35 матчей.
В 2009 году Франц Бургмаер вновь вернулся в «Вадуц». Дебют в составе старого нового клуба пришёлся на противостояние с шотландским «Фалкирком» в рамках второго квалификационного раунда Лиги Европы 2009/10. Потерпев поражение 0:1 в Фолкерке, «Вадуц» смог забить мяч в домашней игре, переведя встречу в дополнительное время (Бурги ассистировал Эмилю Ноллю). А в овертайме гол Бургмаера принёс «Вадуцу» победу и выход в третий квалификационный раунд, где лихтенштейнцы проиграли 0:3 по сумме двух матчей либерецкому «Словану».
Полностью провалив второй круг первенства, «Вадуц» довольствовался восьмой позицией в лиге, отстав на 18 очков от второго места. Однако клуб в шестнадцатый раз подряд выиграл Кубок Лихтенштейна и завоевал право участия в Лиге Европы.
Не лучше сложился для «Вадуца» и сезон 2010/11. В последних девяти матчах чемпионата команда набрала лишь девять очков, упустив блестящую возможность повышения в классе: от вожделенного второго места в лиге клуб в итоге отстал на два пункта. Традиционная победа в Кубке страны оформила для клуба путёвку в Европу.
Самым великим моментом своей карьеры Франц Бургмаер называет ничью 2:2, которой удалось добиться сборной Лихтенштейна 9 октября 2004 года в матче отборочного турнира к чемпионату мира 2006 года с Португалией. Тогда на стадионе «Райнпарк», проигрывая 0:2 после первого тайма, сборная Лихтенштейна смогла переломить ход игры и завершила матч вничью, а первый мяч в ворота португальцев забил Бургмаер.