Сын сторожа Академии наук. В 1764 году принят по прошению отца в обучение в Императорскую Академию художеств, до этого же учился в гарнизонной школе.
В 1767 в числе учеников класса орнаментной скульптуры, которым руководил Луи Роллан, далее в «живописном классе» у Г.Фандерминта и А.Перезинотти.
В 1773—1777 совершенствовался как театральный художник в Венеции, где писал и пейзажи («Набережная Скьявони в Венеции», 1775, Художественный музей БССР, Минск).
В 1790-х гг. выступил с пейзажами Петербурга («Вид Дворцовой набережной от Петропавловской крепости», 1794, Третьяковская галерея), за которые в 1794 получил звание академика.
С 1803 преподавал в Академии художеств. «Для снятия видов» ездил в Херсон, Николаев, Бахчисарай (1795), Полтаву, Воронеж, Орёл и по акварельным этюдам с натуры затем писал картины («Площадь в г. Николаеве», Русский музей, Санкт-Петербург).
Находясь в 1800—1802 в Москве, написал с натуры две картины («Красная площадь с собором Василия Блаженного», Музей института русской литературы АН СССР, Ленинград, и «Вид военного госпиталя», не сохранилась) и ряд акварелей.
В 1810-х гг. создал новую серию петербургских пейзажей («Вид Английской набережной», Русский музей).
Алексеев — первый в русской живописи мастер городского пейзажа. В лиричных, с большой тонкостью исполненных картинах он запечатлел строгий облик Петербурга, живописную красоту Москвы, поэзию повседневной городской жизни.
Вид на Михайловский Замок и площадь Коннетабля в Петербурге (Русский музей)
Внутренний вид двора с садом. Лоджия в Вененции; копия картины (Русский музей)
Вид на Михайловский Замок в Петербурге со стороны Фонтанки (Русский музей)
Красная площадь
Сиротский Дом в Москве
Москва. Вид от Лубянки на Владимирские ворота
Вид города Николаева
Вид Дворцовой набережной от Петропавловской крепости. 1794.
Вид на Биржу и Адмиралтейство от Петропавловской крепости.