С юности принимал участие в шахматных турнирах. В возрасте 17 лет стал чемпионом Киева, опередив будущего претендента на мировое первенство Ефима Боголюбова. В Всероссийском турнире 1912 стал третьим. В том же году поступил на медицинский факультет Киевского университета Святого Владимира. В 1914 участвовал в побочном (проходившим одновременно с главным турниром, в котором играли знаменитые шахматисты) турниром в Мангейме (Германия), который не был доигран из-за начала Первой мировой войны, был интернирован, вернулся в Россию. В 1917 г. закончил университет, получил диплом врача, после чего отправился добровольцем на фронт. Во время гражданской войны работал в госпитале, преподавал анатомию в Киевском институте физкультуры и спорта.
Принимал участие в 6 Всесоюзных шахматных чемпионатах: 1923 (3-4 места, получил звание мастера), 1924 (3-4 места), 1927 (разделил первое место с Петром Романовским), 1931 (3-6 места), 1933, 1934 (3-4 место). Участвовал без особого успеха в Московских международных турнирах — в 1925 (11-е место) и 1935 (16-17 места). В 1926 г. Богатырчук издал первый учебник шахматной игры на украинском языке «Шахи. Підручник гри».
В 1937 г. против Богатырчука, в тот момент председателя шахматной федерации Украины, была развязана кампания в прессе, его обвинили в растрате средств, выделенных на киевский шахматный клуб. Когда Богатырчук обратился в ЦК КП(б)У за разъяснениями, ему, по его собственным словам, заявили следующее:
Как врач Богатырчук занимался рентгенологией костей и суставов, в 1940 г. он защитил диссертацию на степень доктора медицинских наук, стал профессором. В этот период он имел возможность выезжать за рубеж не только как шахматист, но и как учёный, для участия в международных конференциях.
Во время Великой Отечественной войны под надуманным предлогом (прохождение вымышленного курса прививок от бешенства) избежал эвакуации. Работал в оккупированном немцами Киеве, был заместителем председателя Украинского Красного Креста и его фактическим руководителем (в связи с болезнью председателя). Репрессии немецких войск быстро привели Богатырчука к разочарованию в нацизме. Красный Крест под его руководством открыл сбор средств для военнопленных, что в конечном итоге привело к закрытию Украинского Красного Креста и вызову Богатырчука в гестапо (правда, не имевшему последствий). После этого Богатырчук возглавил Институт экспериментальной медицины. В 1943, будучи в командировке в Берлине, познакомился с генералом Власовым.
При приближении советских войск вместе с семьёй эмигрировал в Краков, затем в 1944 г. в Прагу. Там он вступил в КОНР (Комитет освобождения народов России), который возглавил Власов. Богатырчук входил в Президиум КОНРа от Украинского национального совета. В то же время продолжал участвовать в шахматных турнирах.
После войны оказался в американской оккупационной зоне, в мае 1945 обосновался в Байройте. Чтобы избежать репатриации в СССР, принимал участие в турнирах под вымышленной фамилией Богенхольс или Богенко. В 1948 эмигрировал в Канаду, стал преподавателем медицинского факультета Университета города Оттавы сначала в качестве лектора и затем профессора рентгеновской анатомии. Автор свыше 34-х печатных работ, опубликованных в американских, канадских и европейских научных изданиях. Участвовал в чемпионатах Канады (в 1949 — 2 место, в 1951 — 3 место). Принимал активное участие в деятельности украинской общины, редактировал издания «Східняк» и «Федераліст-демократ», был председателем Объединения украинских федералистов-демократов США и Канады. Автор воспоминаний «Мой жизненный путь к Власову и Пражскому Манифесту» (изданы на русском языке в Сан-Франциско в 1978). Продолжал играть в международных турнирах, за исключением тех, где участвовали советские гроссмейстеры. Играл за команду Канады на шахматной олимпиаде в 1954. В 1954 стал международным мастером. Отойдя от практической игры, начал играть по переписке. В 1967 Международная шахматная федерация игры по переписке (ICCF) также присвоила ему звание международного мастера (гроссмейстером он не стал в связи с протестом СССР). В 1970 году вышел в отставку с поста профессора Оттавского университета и был награжден университетом персональной пенсией.
Дружил и переписывался с другим шахматистом-эмигрантом Виктором Корчным.