Родился 15 февраля 1911 года в х. Елизаветовка Мальчевского района (ныне Миллеровский район Ростовской области) в большой крестьянской семье. В августе 1963 года хутор Елизаветовка Мальчевского района был присоединен к слободе Никаноровка (ныне Миллеровского района). Украинец.
У его отца — Максима Макаровича было 4 сына и 4 дочери. Самым младшим из братьев был Фёдор. Еще до войны он отслужил действительную службу на Дальнем Востоке. Член КПСС.
В Великую Отечественную войну боевой путь начал в 1941 году под Севастополем. Служил в отдельной роте ПТР батальона морской пехоты. Все дни героической обороны города Федор Бажора, секретарь партийной организации роты, был на переднем крае и личным примером отваги воодушевлял своих боевых товарищей. В последние дни обороны, в 1942 году, он был ранен и на подводной лодке доставлен на Кавказ. Находился в госпитале.
Младший лейтенант Бажора 2 июля 1944 года на территории Белоруссии поднял бойцов двух рот в атаку, в рукопашной схватке уничтожил несколько гитлеровцев. Затем, возглавив взвод, форсировал реку Неман и овладев плацдармом, удерживал до подхода основных сил:
Так описывался подвиг Бажоры в наградном листе, где командующий войсками 3-го Белорусского фронта генерал армии И. Черняховский 29 октября 1944 года написал: «Достоин присвоения звания Героя Советского Союза».
Вернувшись после войны в родной хутор, Федор Максимович Бажора и на трудовом фронте находился там, где он был нужнее: его избрали председателем отстающего колхоза и он превратил его в рентабельное хозяйство. Более 8 лет руководил Бажора колхозом в тяжелые послевоенные годы, неоднократно избирался депутатом районного совета народных депутатов.
Затем Ф. М. Бажора переехал в Миллерово, где работал директором райпромкомбината. Последние годы жизни Федор Максимович в связи с обострением болезни был на пенсии, но принимал активное участие в общественной жизни города.
Умер 4 июля 1966 года в г. Миллерово Ростовской области.