Родившись в Москве, сын московского мещанина из дворовых помещика Безобразова, учился в московской гимназии. Но с учёбой не заладилось: помешала любовь к театру. Гимназист не раз убегал из класса к известному артисту П. М. Садовскому, он-то и посоветовал юноше посвятить себя исключительно искусству. В результате нерадивый ученик оставил гимназию и четырнадцати лет от роду поступил суфлёром в Малый театр. Через два года, 6 января 1841 г., он с успехом дебютировал, после чего остался на московской сцене, выступая во второстепенных бытовых и комических ролях, главным образом в небольших комедиях и водевилях.
Постепенно его амплуа менялось, он переходил на всё более значимые роли. В это время на сцены императорских театров приходят пьесы Островского, драматург и молодой актёр становятся друзьями, и эти отношения они пронесут через всю жизнь. Островский читал в его доме свои новые пьесы перед постановкой их на сцене, отдавал Бурдину свои пьесы для бенефисов, поручая ему главные роли, в том числе и те, которые Бурдин сам для себя выбирал в ущерб драматургу; Бурдин не прочь был и критиковать произведения своего знаменитого друга.
В 1843 г. Бурдин был командирован для усовершенствования таланта в провинциальные театры (такое часто случалось — молодых артистов отправляли попрактиковаться в провинцию, чтобы те там доросли до императорских подмостков), а в 1846—47 годах прикомандирован к тифлисскому театру, откуда в 1847 г. перевелся в Петербург, в Александринский театр, однако в труппу был зачислен не сразу, только в 1851 г., где и оставался до 1883 г. Одновременно занимался литературной деятельностью, оставив пьесы и воспоминания.
Театральная критика однозначна в отношении него:
В 1883 г. состоялся наградной бенефис Бурдина, после которого он был уволен в отставку. Островский, ценя опытность Бурдина и знание им сцены, прочил его в инспектора театрального училища, но смерть помешала осуществить это намерение. Островский скончался в 1886 году. В последние годы своей жизни Бурдин стал часто болеть и ездил в Италию лечиться. На его здоровье сильно повлияла смерть его друга — Островского. Он совсем немного пережил его, менее чем через год умер сам. Похоронен Бурдин на Ваганьковском кладбище в Москве.
Как актёр Бурдин в первую очередь прославился исполнением пьес своего друга Островского: Краснов («Грех да беда на кого не живёт»), Бруснов («Тяжёлые дни»), Большов («Свои люди — сочтёмся»), Хрюков («Шутники»), Бородкин («Не в свои сани не садись»), Любим Торцов («Бедность не порок»), Шелемишев, («Общее благо»), Ильюшин («Не в деньгах счастье») и др.
Наибольшая часть его произведений — театральные пьесы, переведенные или переделанные с французского:
В 1876 г. Бурдин издал в Петербурге «Сборник театральных пьес, переведенных с французского» (2 тома), в который, кроме многих из перечисленных выше пьес, вошли «Было или не было? Во сне или наяву?», шутка-водевиль; «Доктор по случаю», ком. в 1 д.; «Ослицыно молоко, или Вот иногда чем потчуют влюбленных» («Le lait d’anesse»), водевиль; «Свирепый американец и его соперники», водевиль; «Услугу окажи, да после и тужи!» («Portes et placards»), комедия-водевиль; «Моряк Пьер, или Возвращение из плена», комедия-водевиль; «Бабушка», драма в 6 д.; «Железная маска», драма в 5 д., «Ограбленная почта», драма в 5 д.; «Парижский ветошник», драма в 5 д. и «Цыганская жизнь», драма в 5 д.;
Издал руководство для молодых актёров — книга: «Краткая азбука драматического искусства. Практические советы молодым людям, посвящающим себя сценической деятельности», Москва, 1886.